2013-上海卷理-17 单-通项公式与变形

本题导读

本题考查等比数列，以及通项公式与变形。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(理)） 在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_n=2^n-1$.若一个 $7$ 行 $12$ 列的矩阵的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素 $a_{i,j}=a_i\cdot a_j+a_i+a_j$ ($i=1,2,\dots ,7;j=1,2,\dots ,12$)，则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为().

A. 18　　　　　　　B. 28　　　　　　　C. 48　　　　　　　D. 63

🔍【思路分析】

破题导航

1. 代数式变形：
   • 观察元素定义式 $a_{i,j}=a_i{a}_j+a_i+a_j$。
   • 这是一个非常经典的因式分解结构，两边同时加 1 可以配方：$a_{i,j}+1=a_i{a}_j+a_i+a_j+1=(a_i+1)(a_j+1)$。
2. 代入通项公式：
   • 已知 $a_n=2^n-1$，则 $a_n+1=2^n$。
   • 故 $a_{i,j}+1=2^i\cdot 2^j=2^{i+j}$。
   • 推出矩阵元素的一般形式：$a_{i,j}=2^{i+j}-1$。
3. 转化问题：
   • $a_{i,j}$ 的不同取值个数取决于指数 $i+j$ 的不同取值个数。
   • 根据 $i$ 和 $j$ 的取值范围，确定 $i+j$ 的最小值和最大值，并判断其是否能取到该区间内的所有整数。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简矩阵元素表达式 已知 $a_{i,j}=a_i{a}_j+a_i+a_j$。 将其进行因式分解变形： $a_{i,j}=a_i(a_j+1)+(a_j+1)-1$ $a_{i,j}=(a_i+1)(a_j+1)-1$

第二步：代入数列通项 已知 $a_n=2^n-1$，则有 $a_i+1=2^i$，$a_j+1=2^j$。 代入变形后的式子得： $a_{i,j}=2^i\cdot 2^j-1=2^{i+j}-1$

第三步：确定 $i+j$ 的取值范围 由于 $i\in \{1,2,\dots ,7\}$，$j\in \{1,2,\dots ,12\}$：

• 最小值：当 $i=1,j=1$ 时，$i+j=2$；
• 最大值：当 $i=7,j=12$ 时，$i+j=19$。 因为 $i,j$ 都是连续的正整数，所以 $i+j$ 可以取到区间 $[2,19]$ 内的所有整数。

第四步：计数 $i+j$ 的取值集合为 $\{2,3,4,\dots ,19\}$。 该集合中元素的个数为： $19-2+1=18$ 由于函数 $y=2^x-1$ 在 $\mathbb{R}$ 上是严格单调增函数，不同的 $i+j$ 对应唯一的 $a_{i,j}$ 值。 故矩阵中不同数值的个数为 $18$ 个。

故正确选项为：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：利用因式分解化简数列复合表达式。

核心方法：“补项法”。在处理形如 $xy+x+y$ 的式子时，通过加 1 构造 $(x+1)(y+1)$ 是初高中数学中极高频的技巧。

避坑指南：不要盲目计算矩阵中所有的 $7\times 12=84$ 个元素再逐一对比。在涉及行列下标的问题中，优先寻找下标之间的运算规律（如和、差、积）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二元函数的值域、矩阵的秩（虽然本题不需要，但此类结构常用于构造秩为 1 的矩阵）。

结论推广：若 $a_{i,j}=a_i+a_j$，且 $a_n$ 是等差数列，不同值的个数计算方法类似。

方法推广：“补项法”。在处理形如 $xy+x+y$ 的式子时，通过加 1 构造 $(x+1)(y+1)$ 是初高中数学中极高频的技巧。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 16.02 直线方程的形式与直线系
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)