2013-北京卷文-02 单-不等式性质

本题导读

本题考查不等式的基本性质，以及函数的单调性与大小比较。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(文)） 设 $a$，$b$，$c\in \mathbf{R}$，且 $a>b$，则()

A. $ac>bc$　　　　　B. $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$　　　　　C. $a^2>b^2$　　　　　D. $a^3>b^3$

🔍【思路分析】

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1. （A）取 $c<0$ 反例；（B）取 $a>0>b$ 反例；（C）取 $a=1,b=-2$ 反例。
2. $y=x^3$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，故 $a>b\Rightarrow a^3>b^3$。

✅【答案】

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（D）

✍【详细解析】

Abstract

逐项检验： （A）取 $a=1$，$b=0$，$c=-1$：$ac=-1<0=bc$，不成立（$c⩽0$ 时不等号变向或消失）。 （B）取 $a=1$，$b=-1$：$\frac{1}{a}=1>\frac{1}{b}=-1$，不成立（$a$、$b$ 异号时错误；同为负时也不成立）。 （C）取 $a=1$，$b=-2$：$a^2=1<4=b^2$，不成立。 （D）因为幂函数 $y=x^3$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，且 $a>b$，所以 $a^3>b^3,$ 成立。 选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：不等式的基本性质

核心方法：对每个选项举反例或给证明：$y=x^3$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增

避坑指南：$a>b$ 推不出 $ac>bc$（$c$ 可为负或零）、推不出 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$（可能为零）也推不出 $a^2>b^2$（负数反例）——逐项找反例是处理此类题的标准动作。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：不等式的性质与大小比较（全国卷常考小题）。

结论推广：$a>b⟺a^3>b^3$（幂函数 $y=x^3$ 单调递增）；$a>b$ 不能保证 $ac>bc$、$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$、$a^2>b^2$。

方法推广：性质判定题：正确的给证明（单调性），错误的举反例（取 $c<0$、$a=1,b=-2$ 等）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-四川卷文-05 单-不等式性质