2013-北京卷文-14 填-向量线性表示面积

本题导读

本题考查平面向量的线性表示，以及平行四边形的面积。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(文)） 已知点 $A(1,-1)$，$B(3,0)$，$C(2,1)$. 若平面区域 $D$ 由所有满足 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AB}+\mu \overrightarrow{AC}$（$1⩽\lambda ⩽2$，$0⩽\mu ⩽1$）的点 $P$ 组成，则 $D$ 的面积为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $\overrightarrow{AB}=(2,1)$，$\overrightarrow{AC}=(1,2)$。
2. 固定 $\lambda$，$\mu$ 从 $0$ 到 $1$ 扫出以 $\overrightarrow{AC}$ 为边的线段；$\lambda$ 从 $1$ 到 $2$ 使线段沿 $\overrightarrow{AB}$ 平移，区域为平行四边形，面积 $=|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|$。
3. 面积 $=|2\times 2-1\times 1|=3$。

✅【答案】

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$3$

✍【详细解析】

Abstract

$\overrightarrow{AB}=(3-1,0+1)=(2,1)$，$\overrightarrow{AC}=(2-1,1+1)=(1,2)$。 区域 $D=\left\{\lambda \overrightarrow{AB}+\mu \overrightarrow{AC}|1⩽\lambda ⩽2,0⩽\mu ⩽1\right\}+A$： 固定 $\mu$，点随 $\lambda$ 从 $1$ 增到 $2$ 沿 $\overrightarrow{AB}$ 方向移动一个身位；固定 $\lambda$，点随 $\mu$ 扫出以 $\overrightarrow{AC}$ 为边的线段。因此 $D$ 是以 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ 为邻边的平行四边形（$\lambda \in [1,2]$ 相当于把 $\lambda \in [0,1]$ 的平行四边形沿 $\overrightarrow{AB}$ 平移一格，形状面积不变）。 平行四边形面积（向量叉积的绝对值）： $S=|2\times 2-1\times 1|=3.$ 所以 $D$ 的面积为 $3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量的线性表示与区域面积

核心方法：$\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AB}+\mu \overrightarrow{AC}$，$\lambda \in [1,2]$、$\mu \in [0,1]$：区域是平行四边形沿 $AB$ 方向平移一格得到的条带，面积 $=|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|$

避坑指南：$\lambda$ 取 $[1,2]$ 相当于把 $\mu$-条带（平行四边形）沿 $\overrightarrow{AB}$ 平移一个身位，面积与 $\lambda$ 长度无关——面积就是基底 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ 张成的平行四边形面积 $|2\times 2-1\times 1|=3$；误算成三角形会得 $\frac{3}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平面向量的线性表示与区域面积（北京卷特色）。

结论推广：$\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AB}+\mu \overrightarrow{AC}$（${\lambda }_0⩽\lambda ⩽{\lambda }_0+1$，$\mu \in [0,1]$）表示的点集是以 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ 为边的平行四边形（沿 $\overrightarrow{AB}$ 平移，面积不变）。

方法推广：向量区域面积题：认出参数区域的几何形状（平行四边形条带）→ 面积 $=$ 两基底向量叉积的绝对值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-18 解-线面平行与棱锥体积