2013-北京卷理-08 单-可行域判定

本题导读

本题考查简单线性规划，以及可行域的判定。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(理)） 设关于 $x,y$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l}2x-y+1>0\\ x+m<0\\ y-m>0\end{array}$ 表示的平面区域内存在点 $P(x_0,y_0)$，满足 $x_0-2y_0=2$，求得 $m$ 的取值范围是()

A. $(-\infty ,-\frac{4}{3})$　　　B. $(-\infty ,\frac{1}{3})$　　　C. $(-\infty ,-\frac{2}{3})$　　　D. $(-\infty ,\frac{5}{3})$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析约束条件：

   • $x<-m$：区域在直线 $x=-m$ 的左侧。

   • $y>m$：区域在直线 $y=m$ 的上方。

   • $2x-y+1>0$：区域在直线 $y=2x+1$ 的下方。

2. 确定点 $P$ 的轨迹：满足 $x_0-2y_0=2$ 的点 $P$ 位于直线 $L:y=\frac{1}{2}x-1$ 上。

3. 转化问题：题意即为直线 $y=\frac{1}{2}x-1$ 与三个不等式构成的可行域有公共点。

4. 数形结合：

   • 可行域是一个三角形区域（若存在的话）。其三个顶点分别为直线 $x=-m,y=m,y=2x+1$ 的交点。

   • 要使可行域内存在直线 $L$ 上的点，只需考察可行域的边界点与直线 $L$ 的相对位置。

   • 关键边界点：$A(-m,m)$ 和 $B(-m,1-2m)$（由 $x=-m$ 与 $y=2x+1$ 联立得）。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求可行域的顶点

联立约束条件的边界直线：

• $L_1:2x-y+1=0$

• $L_2:x=-m$

• $L_3:y=m$

由 $L_1,L_2$ 得顶点 $B(-m,1-2m)$；

由 $L_2,L_3$ 得顶点 $A(-m,m)$；

由 $L_1,L_3$ 得顶点 $C(\frac{m-1}{2},m)$。

第二步：建立不等式关系

要使可行域存在，需满足纵坐标关系：$1-2m>m⟹m<\frac{1}{3}$。

点 $P$ 需在直线 $y=\frac{1}{2}x-1$ 上。

观察图像，直线 $L:y=\frac{1}{2}x-1$ 要穿过可行域，必须满足：

1. 顶点 $B(-m,1-2m)$ 在直线 $L$ 的上方：

   $1-2m>\frac{1}{2}(-m)-1$

   $1-2m>-\frac{1}{2}m-1⟹\frac{3}{2}m<2⟹m<\frac{4}{3}$。

2. 顶点 $A(-m,m)$ 在直线 $L$ 的下方：

   $m<\frac{1}{2}(-m)-1$

   $m<-\frac{1}{2}m-1⟹\frac{3}{2}m<-1⟹m<-\frac{2}{3}$。

第三步：求交集

综合上述条件：

$\{\begin{array}{l}m<\frac{1}{3}\\ m<\frac{4}{3}\\ m<-\frac{2}{3}\end{array}⟹m<-\frac{2}{3}$。

故选：C。


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划的可行域分析；点在直线上下方的判定（若 $y>kx+b$，点在直线上方）。

核心方法：“边界移动法”。将含参直线或含参区域的边界作为突破口，寻找临界状态。

避坑指南：注意 $m$ 的符号和不等号的方向。很多同学在联立顶点后容易算错 $m<\frac{1}{3}$ 这个前提条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二元一次不等式表示的平面区域。

结论推广：若直线 $Ax+By+C=0$ 穿过由 $f_i(x,y)>0$ 定义的区域，则区域内至少有一个顶点在直线的一侧，另一个顶点在另一侧。

方法推广：涉及“存在点满足某方程”的问题，通常转化为“曲线与区域有交点”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)