2013-四川卷文-21 解-分段函数切线

本题导读

本题考查分段函数的导数。核心在于分段求导定单调区间、换元+均值不等式证不等式的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(文)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+2x+a,& x<0,\\ \ln x,& x>0,\end{array}$ 其中 $a$ 是实数.设 $A(x_1,f(x_1))$，$B(x_2,f(x_2))$ 为该函数图象上的两点，且 $x_1<x_2$.

(1)指出函数 $f(x)$ 的单调区间；

(2)若函数 $f(x)$ 的图象在点 $A,B$ 处的切线互相垂直，且 $x_2<0$，证明：$x_2-x_1⩾1$；

(3)若函数 $f(x)$ 的图象在点 $A,B$ 处的切线重合，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 分段求导：左段 $f^{\prime }(x)=2x+2$ 有零点 $-1$，右段 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}>0$，据此写单调区间。
2. 第 (2) 问：$x_2<0$ 且 $x_1<x_2$ → 两点都在左段，切线垂直 → $(2x_1+2)(2x_2+2)=-1$。
3. 令 $u=x_1+1,v=x_2+1$，得 $uv=-\frac{1}{4}$ 且 $u<0<v$，用均值不等式估计 $v-u$。
4. 第 (3) 问：先排除同支相切，得 $x_1<0<x_2$；设 $x_2=t>0$，写出两切线方程，令斜率、截距分别相等，解出 $a$ 关于 $t$ 的表达式并求值域。

✅【答案】

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(1)$f(x)$ 在 $(-\infty ,-1)$ 上单调递减，在 $(-1,0)$ 与 $(0,+\infty )$ 上单调递增；(2)证明见解析；(3)$a\in (-1-\ln 2,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

（1）当 $x<0$ 时，$f^{\prime }(x)=2x+2$：令 $f^{\prime }(x)=0$ 得 $x=-1$，故 $f(x)$ 在 $(-\infty ,-1)$ 上单调递减，在 $(-1,0)$ 上单调递增； 当 $x>0$ 时，$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}>0$，故 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。 （2）由 $x_1<x_2<0$ 知两点都在抛物线段上，两处切线斜率分别为 $2x_1+2$ 与 $2x_2+2$。 两切线垂直，故 $(2x_1+2)(2x_2+2)=-1.$ 令 $u=x_1+1$，$v=x_2+1$，则 $u<v<1$，且 $uv=-\frac{1}{4}$。由 $uv<0$ 与 $u<v$ 得 $u<0<v$。 于是 $x_2-x_1=v-u=v+(-u)⩾2\sqrt{v\cdot (-u)}=2\sqrt{\frac{1}{4}}=1,$ 当且仅当 $v=-u=\frac{1}{2}$，即 $x_1=-\frac{3}{2}$，$x_2=-\frac{1}{2}$ 时取等号。故 $x_2-x_1⩾1$。 （3）若 $x_1<x_2<0$，两切线斜率相等时 $2x_1+2=2x_2+2$ 给出 $x_1=x_2$，与 $x_1<x_2$ 矛盾； 若 $0<x_1<x_2$，由 $\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}$ 同样得 $x_1=x_2$，矛盾。 故只能是 $x_1<0<x_2$。令 $x_2=t>0$。 左段在 $x_1$ 处的切线为 $y=(2x_1+2)x+a-x_1^2$；右段在 $t$ 处的切线为 $y=\frac{1}{t}x+\ln t-1$。 两切线重合，故斜率与纵截距分别相等： $2x_1+2=\frac{1}{t},a-x_1^2=\ln t-1.$ 由第一式得 $x_1=\frac{1}{2t}-1$；$x_1<0$ 等价于 $t>\frac{1}{2}$。代入第二式： $a={\left(\frac{1}{2t}-1\right)}^2+\ln t-1=\frac{1}{4t^2}-\frac{1}{t}+\ln t.$ 令 $g(t)=\frac{1}{4t^2}-\frac{1}{t}+\ln t\left(t>\frac{1}{2}\right)$，则 $g^{\prime }(t)=-\frac{1}{2t^3}+\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t}=\frac{2t^2+2t-1}{2t^3}>0\left(t>\frac{1}{2}\right),$ 故 $g(t)$ 在 $\left(\frac{1}{2},+\infty \right)$ 上单调递增。 又 $\underset{t\to {\frac{1}{2}}^{+}}{\lim }g(t)=1-2+\ln \frac{1}{2}=-1-\ln 2$，$\underset{t\to +\infty }{\lim }g(t)=+\infty$。 所以 $a$ 的取值范围为 $(-1-\ln 2,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数的导数、单调区间与两条切线重合的条件

核心方法：$x<0$ 时 $f^{\prime }(x)=2x+2$（在 $(-\infty ,-1)$ 减、$(-1,0)$ 增），$x>0$ 时 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}>0$（在 $(0,+\infty )$ 增）；(2) 由 $(2x_1+2)(2x_2+2)=-1$、$u=x_1+1,v=x_2+1$、$uv=-\frac{1}{4}$ 得 $x_2-x_1⩾1$；(3) 斜率与截距同时相等解出 $a=\frac{1}{4t^2}-\frac{1}{t}+\ln t$（$t>\frac{1}{2}$），值域为 $(-1-\ln 2,+\infty )$

避坑指南：(2) 中由 $x_2<0$ 且 $x_1<x_2$ 断定两点都在左段，是本题的关键前提；(3) 两切线重合既要斜率相等也要截距相等，只联立斜率得不出 $a$ 的范围；端点 $t=\frac{1}{2}$ 时 $x_1=0$ 不属于左段定义域，故 $a=-1-\ln 2$ 取不到

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段函数（抛物线 + 对数）的切线问题与 2013 天津文 20 属同题异构，四川卷把”切线垂直”与”切线重合”拆成两问，考查更细。

结论推广：分段函数切线问题的通用流程：① 判断两支上各取一点时斜率能否相等（同支上必相等 → 只有 $x_1<0<x_2$ 可行）；② 由斜率相等与截距相等解出参数；③ 由点的定义域（$x_1<0$）反解参数范围。

方法推广：证明型不等式 $x_2-x_1⩾1$ 的”换元 + 均值不等式”是标准套路：把 $(2x_1+2)(2x_2+2)=-1$ 平移为 $uv=-\frac{1}{4}$（$u<0<v$），则 $v-u⩾2\sqrt{-uv}$ 一步到位，取等条件同时给出等号成立的位置。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-20 解-分段函数导数切线
• 2013-北京卷文-18 解-导数切线交点
• 2013-北京卷文-13 填-分段函数值域