2013-大纲卷理-15 填-可行域与可行解

本题导读

本题考查线性规划，以及可行域与可行解。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(理)） 记不等式组 $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x+3y\ge 4\\ 3x+y\le 4\end{array}$ 所表示的平面区域为 $D$.若直线 $y=a(x+1)$ 与 $D$ 有公共点，则 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 绘制可行域 $D$：

   • $x\ge 0$：$y$ 轴及其右侧区域。

   • $x+3y=4$ 与 $3x+y=4$：求出两条直线的交点及与坐标轴的交点。

   • 确定区域 $D$ 是一个三角形区域。

2. 分析动直线：

   • 直线 $y=a(x+1)$ 可变形为 $y-0=a[x-(-1)]$。

   • 该直线恒过定点 $P(-1,0)$，其斜率为 $a$。

3. 寻找临界位置：

   • 直线与 $D$ 有公共点，意味着直线在绕点 $P$ 旋转的过程中，其斜率 $a$ 介于穿过可行域顶点的两条极端直线斜率之间。

   • 计算定点 $P$ 与可行域各个顶点连线的斜率，确定最大值和最小值。

✅【答案】

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$[\frac{1}{2},4]$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定可行域 $D$ 的顶点

联立方程组：

1. $\{\begin{array}{l}x+3y=4\\ 3x+y=4\end{array}⟹A(1,1)$

2. $\{\begin{array}{l}x=0\\ x+3y=4\end{array}⟹B(0,\frac{4}{3})$

3. $\{\begin{array}{l}x=0\\ 3x+y=4\end{array}⟹C(0,4)$

经检验，满足不等式组的平面区域 $D$ 为以 $A,B,C$ 为顶点的三角形区域。

第二步：分析定点与旋转直线

直线 $y=a(x+1)$ 经过定点 $P(-1,0)$。

要使直线与三角形 $ABC$ 有公共点，斜率 $a$ 必须满足：

$k_{PA}\le a\le k_{PC}$ （根据图象观察，由于 $P$ 在区域左侧，$A$ 点对应最小斜率，$C$ 点对应最大斜率）。

第三步：计算斜率边界值

• 与顶点 $C(0,4)$ 连线的斜率：

  $k_{PC}=\frac{4-0}{0-(-1)}=4$

• 与顶点 $A(1,1)$ 连线的斜率：

  $k_{PA}=\frac{1-0}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$

• 与顶点 $B(0,\frac{4}{3})$ 连线的斜率：

  $k_{PB}=\frac{\frac{4}{3}-0}{0-(-1)}=\frac{4}{3}$

第四步：得出结论

由图象可知，$a$ 的取值范围应由最小斜率 $k_{PA}$ 到最大斜率 $k_{PC}$。

即 $\frac{1}{2}\le a\le 4$。

故答案为：$[\frac{1}{2},4]$。


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划中可行域的判定及含参直线过定点的性质。

核心方法：“数形结合”。将抽象的代数范围问题转化为直线的旋转角度问题。

避坑指南：- 确定区域 $D$ 时，一定要准确判断不等号方向（“直线定界，点测方向”）。 - 必须先找出直线恒过的定点，否则无法判断斜率的变化趋势。 - 计算交点坐标和斜率时需仔细，防止因算错顶点导致范围错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二元一次不等式表示的平面区域、直线方程的五种形式。

结论推广：若目标函数为 $z=\frac{y-b}{x-a}$，其实质也是求可行域内的点与定点 $(a,b)$ 连线的斜率范围。

方法推广：涉及线性规划的最值问题，通常有平移直线、旋转直线、圆半径变化等几种模型。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)