2013-天津卷理-06 单-正弦定理

本题导读

本题考查正弦定理，以及余弦定理。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(理)） 在 $△ABC$ 中，$\angle ABC=\frac{\pi }{4}$，$AB=\sqrt{2}$，$BC=3$，则 $\sin \angle BAC=$ ()

A. $\frac{\sqrt{10}}{10}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{10}}{5}$　　　　　　C. $\frac{3\sqrt{10}}{10}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{5}}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析已知条件：题目给出了三角形的两边 $AB$、$BC$ 及其夹角 $\angle ABC$（即角 $B$），这是一个典型的“边角边”（SAS）模型。
2. 第一步：求第三边：利用余弦定理求出对边 $AC$ 的长度。
3. 第二步：求正弦值：已知三边和一角，利用正弦定理建立 $\sin \angle BAC$ 与已知条件的关系式并求解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用余弦定理求 $AC$ 在 $△ABC$ 中，由余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ 得： $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2AB\cdot BC\cos \angle ABC$ 代入数值： $A{C}^2=(\sqrt{2}{)}^2+3^2-2\times \sqrt{2}\times 3\times \cos \frac{\pi }{4}$ $A{C}^2=2+9-6\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}$ $A{C}^2=11-6=5$ 所以，$AC=\sqrt{5}$。

第二步：利用正弦定理求 $\sin \angle BAC$ 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 可得： $\frac{BC}{\sin \angle BAC}=\frac{AC}{\sin \angle ABC}$ 即： $\frac{3}{\sin \angle BAC}=\frac{\sqrt{5}}{\sin \frac{\pi }{4}}$ $\frac{3}{\sin \angle BAC}=\frac{\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ 解得： $\sin \angle BAC=\frac{3\times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$

故正确答案为：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：熟练掌握正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 和余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$。

核心方法：在解三角形中，看到“两边一夹角”优先想余弦定理求第三边；看到“对边对角”优先想正弦定理。

避坑指南：计算过程中注意根式的运算和分母有理化。例如 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ 需化为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$。

结论推广：若本题要求 $\cos \angle BAC$，在求出 $\sin$ 后需结合三角形边长关系判断角 $A$ 是锐角还是钝角（本题中 $B{C}^2=9>A{B}^2+A{C}^2=2+5=7$，故 $\angle BAC$ 为钝角，$\cos$ 应取负值）。

方法推广：在解三角形中，看到“两边一夹角”优先想余弦定理求第三边；看到“对边对角”优先想正弦定理。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷文-14 填-正弦定理
• 2014-湖北卷文-13 填-正弦定理
• 2014-江西卷文-05 单-正弦定理