2013-天津卷理-15 解-两角和差正弦

本题导读

本题考查两角和与差的正弦公式。核心在于恒等变换法、辅助角公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(理)） 已知函数 $f(x)=-\sqrt{2}\sin (2x+\frac{\pi }{4})+6\sin x\cos x-2{\cos }^{2}x+1$，$x\in \mathbb{R}$.

(1)求 $f(x)$ 的最小正周期；

(2)求 $f(x)$ 在区间 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上的最大值和最小值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（化简求周期）：
   • 展开第一项：使用两角和的正弦公式 $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$。
   • 变换中间项：利用二倍角正弦公式 $2\sin x\cos x=\sin 2x$。
   • 变换末尾项：利用二倍角余弦公式（降幂公式）$2{\cos }^{2}x-1=\cos 2x$。
   • 合并同类项：利用辅助角公式 $a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\phi )$ 化为单一三角函数。
   • 计算周期：$T=\frac{2\pi }{\omega }$。
2. 第二问（闭区间最值）：
   • 确定自变量 $x$ 的范围 $[0,\frac{\pi }{2}]$。
   • 计算整体角 $2x-\frac{\pi }{4}$ 的取值范围。
   • 结合正弦函数的图象性质，寻找在该范围内正弦值的最大、最小值及其对应的 $x$ 值。

✅【答案】

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所以，函数 $f(x)$ 的最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。；故 $f(x)$ 在区间 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上的最大值为 $2\sqrt{2}$，最小值为 $-2$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 首先对 $f(x)$ 进行恒等变换： $f(x)=-\sqrt{2}(\sin 2x\cos \frac{\pi }{4}+\cos 2x\sin \frac{\pi }{4})+3(2\sin x\cos x)-(2{\cos }^{2}x-1)$ 代入三角函数特殊值及公式： $f(x)=-\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2x)+3\sin 2x-\cos 2x$ $f(x)=-\sin 2x-\cos 2x+3\sin 2x-\cos 2x$ $f(x)=2\sin 2x-2\cos 2x$ 利用辅助角公式： $f(x)=\sqrt{2^2+(-2{)}^2}\sin (2x-\frac{\pi }{4})=2\sqrt{2}\sin (2x-\frac{\pi }{4})$

所以，函数 $f(x)$ 的最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

（Ⅱ）解： 因为 $x\in [0,\frac{\pi }{2}]$， 所以 $0\le 2x\le \pi$， 进而 $-\frac{\pi }{4}\le 2x-\frac{\pi }{4}\le \frac{3\pi }{4}$。

根据正弦函数 $y=\sin t$ 在区间 $[-\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}]$ 上的性质：

• 当 $2x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$，即 $x=\frac{3\pi }{8}$ 时，$\sin (2x-\frac{\pi }{4})$ 取得最大值 $1$；
• 当 $2x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}$，即 $x=0$ 时，$\sin (2x-\frac{\pi }{4})$ 取得最小值 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$。

代入 $f(x)$ 的解析式：

• 最大值为 $f(\frac{3\pi }{8})=2\sqrt{2}\times 1=2\sqrt{2}$；
• 最小值为 $f(0)=2\sqrt{2}\times (-\frac{\sqrt{2}}{2})=-2$。 （注：在 $2x-\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$ 即 $x=\frac{\pi }{2}$ 时，$f(\frac{\pi }{2})=2\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=2$，大于 $-2$）

故 $f(x)$ 在区间 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上的最大值为 $2\sqrt{2}$，最小值为 $-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变换的“三看”原则——看角（统一为 $2x$）、看名（统一为 $\sin ,\cos$）、看结构（辅助角公式）。

核心方法：“整体代换法”。求解 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )$ 的最值或单调性时，必须先求出整体角 $t=\omega x+\phi$ 的范围。

避坑指南：- 降幂公式容易记错正负号：$\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$。 - 第二问中区间端点 $x=\frac{\pi }{2}$ 对应的函数值虽然不是最小值，但必须进行比较验证。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：诱导公式、三角函数图象的平移与伸缩变换。

结论推广：函数 $y=a\sin \omega x+b\cos \omega x$ 的最大值为 $\sqrt{a^2+b^2}$，最小值为 $-\sqrt{a^2+b^2}$。

方法推广：若要求单调增区间，令 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le 2x-\frac{\pi }{4}\le \frac{\pi }{2}+2k\pi$ 即可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)