2013-安徽卷理-06 单-不等式的解集

本题导读

本题考查一元二次不等式，以及不等式的解集。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(理)） 已知一元二次不等式 $f(x)<0$ 的解集为 $\{x\mid x<-1\text{ 或 }x>\frac{1}{2}\}$，则 $f(10^x)>0$ 的解集为()

A. $\{x\mid x<-1\text{ 或 }x>-\lg 2\}$　　　　　　　　　　B. $\{x\mid -1<x<-\lg 2\}$

C. $\{x\mid x>-\lg 2\}$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $\{x\mid x<-\lg 2\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 $f(x)$ 的正负区间：根据 $f(x)<0$ 的解集是“两根之外”，可以推断出函数 $f(x)$ 对应的二次项系数为负（开口向下），且 $f(x)>0$ 的解集应为“两根之间”。
2. 转化复合不等式：将 $f(10^x)>0$ 转化为关于变量 $10^x$ 的基本不等式。由 $f(x)>0⟺-1<x<\frac{1}{2}$，得 $-1<10^x<\frac{1}{2}$。
3. 利用指数函数性质求解：
   • 根据指数函数 $10^x>0$ 恒成立，简化不等式组。
   • 利用 $10^x$ 的单调递增性质和对数运算求出 $x$ 的范围。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定 $f(x)>0$ 的解集 已知 $f(x)<0$ 的解集为 $(-\infty ,-1)\cup (\frac{1}{2},+\infty )$。 这是一元二次不等式，其解集为两根之外，说明对应的二次函数图象开口向下。 因此，$f(x)>0$ 的解集为两根之间，即： $-1<x<\frac{1}{2}$

第二步：代入指数变量 令 $10^x$ 替换 $x$，则不等式 $f(10^x)>0$ 等价于： $-1<10^x<\frac{1}{2}$

第三步：解指数不等式 由于对于任意实数 $x$，指数函数 $10^x$ 总是大于 $0$ 的， 所以 $-1<10^x$ 恒成立。 原不等式组简化为： $10^x<\frac{1}{2}$ 两边取以 $10$ 为底的常用对数： $\lg 10^x<\lg \frac{1}{2}$ $x<\lg 1-\lg 2$ $x<-\lg 2$

第四步：得出结论 解集为 $\{x\mid x<-\lg 2\}$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：一元二次不等式解集的结构（开口方向与解集范围的关系）；指数函数的值域（$a^x>0$）。

核心方法：“整体代换法”。处理 $f(g(x))>0$ 时，先求出 $f(t)>0$ 的范围，再让 $g(x)$ 落在该范围内。

避坑指南：很多考生会直接将 $10^x$ 代入 $f(x)<0$ 的解集中，忽略了题目问的是 $f(10^x)>0$。此外，必须牢记指数函数永远为正，从而舍弃 $-1<10^x$ 这一无效约束。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二次函数开口方向的判定、对数函数的运算性质 $\lg \frac{1}{n}=-\lg n$。

结论推广：若 $f(x)>0$ 解集为 $(a,b)$，则 $f(g(x))>0⟺a<g(x)<b$。

方法推广：涉及指数、对数与二次函数复合的不等式，画出草图能有效辅助判断区间。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-03 单-不等式组解集
• 2013-陕西卷文-15 填-绝对值不等式解集
• 2025-新高考II卷-04 单-分式不等式