2013-安徽卷理-16 解-两角和差正弦

本题导读

本题考查两角和与差的正弦公式。核心在于恒等变形法、整体换元法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(理)） 已知函数 $f(x)=4\cos \omega x\cdot \sin \left(\omega x+\frac{\pi }{4}\right)$ ($\omega >0$) 的最小正周期为 $\pi$.

(1)求 $\omega$ 的值；

(2)讨论 $f(x)$ 在区间 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上的单调性.

🔍【思路分析】

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1. 化简解析式：
   • 首先利用两角和的正弦公式展开 $\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{4}\right)$。
   • 展开后利用二倍角公式 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ 和降幂公式 ${\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}$ 进行整合。
   • 最后利用辅助角公式化为 $f(x)=A\sin (2\omega x+\phi )+B$ 的标准形式。
2. 第一问（周期）：
   • 根据化简后的频率 $2\omega$，结合周期公式 $T=\frac{2\pi }{|2\omega |}$，由 $T=\pi$ 解出 $\omega$。
3. 第二问（单调性）：
   • 将 $\omega$ 代入解析式，设整体角 $t=2x+\frac{\pi }{4}$。
   • 根据 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 确定 $t$ 的取值范围。
   • 结合正弦函数的单调区间（增区间为 $\left[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi \right]$，减区间同理）进行讨论。

✅【答案】

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增区间；减区间

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 首先对函数 $f(x)$ 进行恒等变形： $f(x)=4\cos \omega x\cdot \left(\sin \omega x\cos \frac{\pi }{4}+\cos \omega x\sin \frac{\pi }{4}\right)$ $=4\cos \omega x\cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \omega x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \omega x\right)$ $=2\sqrt{2}\sin \omega x\cos \omega x+2\sqrt{2}{\cos }^2\omega x$ 利用二倍角公式与降幂公式： $=\sqrt{2}\sin 2\omega x+\sqrt{2}(1+\cos 2\omega x)$ $=\sqrt{2}\sin 2\omega x+\sqrt{2}\cos 2\omega x+\sqrt{2}$ 利用辅助角公式： $f(x)=2\sin \left(2\omega x+\frac{\pi }{4}\right)+\sqrt{2}$

因为函数 $f(x)$ 的最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2\omega }=\frac{\pi }{\omega }$， 由题意知 $T=\pi$，且 $\omega >0$， 所以 $\frac{\pi }{\omega }=\pi ⟹\omega =1$。

（Ⅱ）解： 由（Ⅰ）知 $f(x)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)+\sqrt{2}$。 当 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时，$2x+\frac{\pi }{4}\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right]$。

设 $t=2x+\frac{\pi }{4}$。正弦函数 $y=\sin t$ 的变化情况如下：

1. 增区间：当 $\frac{\pi }{4}\le t\le \frac{\pi }{2}$ 时，即 $\frac{\pi }{4}\le 2x+\frac{\pi }{4}\le \frac{\pi }{2}$， 解得 $0\le x\le \frac{\pi }{8}$。 故 $f(x)$ 在 $\left[0,\frac{\pi }{8}\right]$ 上单调递增。

2. 减区间：当 $\frac{\pi }{2}\le t\le \frac{5\pi }{4}$ 时，即 $\frac{\pi }{2}\le 2x+\frac{\pi }{4}\le \frac{5\pi }{4}$， 解得 $\frac{\pi }{8}\le x\le \frac{\pi }{2}$。 故 $f(x)$ 在 $\left[\frac{\pi }{8},\frac{\pi }{2}\right]$ 上单调递减。

综上所述，$f(x)$ 在 $\left[0,\frac{\pi }{8}\right]$ 上单调递增，在 $\left[\frac{\pi }{8},\frac{\pi }{2}\right]$ 上单调递减。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变换的“化一”思想（辅助角公式）。

核心方法：“整体法”。在讨论单调性时，将 $\omega x+\phi$ 看作一个整体，利用基础正弦函数的图像性质来推导 $x$ 的范围，比直接解不等式更直观且不易出错。

避坑指南：化简过程中，$2\sqrt{2}{\cos }^2\omega x$ 的降幂容易漏掉常数项 $\sqrt{2}$。此外，单调区间的讨论必须严格限制在题目给定的区间 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 内。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦型函数的对称性、最值问题。

结论推广：对于 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )+B$，其对称轴方程由 $\omega x+\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}$ 求得。

方法推广：涉及三角函数图像变换（如平移、伸缩）时，先将解析式化为标准形式是第一步。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)