2013-安徽卷理-17 解-一元二次不等式

本题导读

本题考查一元二次不等式的解法。核心在于导数法、比较法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(理)） 设函数 $f(x)=ax-(1+a^2)x^2$，其中 $a>0$，区间 $I=\{x\mid f(x)>0\}$.

(1)求 $I$ 的长度（注：区间 $(\alpha ,\beta )$ 的长度定义为 $\beta -\alpha$）；

(2)给定常数 $k\in (0,1)$，当 $1-k\le a\le 1+k$ 时，求 $I$ 长度的最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（区间长度）：

   • 解不等式 $ax-(1+a^2)x^2>0$。

   • 提取公因式 $x$，得 $x[a-(1+a^2)x]>0$。

   • 找出两个零点 $x_1=0,x_2=\frac{a}{1+a^2}$，由于 $a>0$，故 $x_2>0$。

   • 根据二次不等式“大于 $0$ 取中间”的原则，确定区间 $I$ 并求其长度。

2. 第二问（最小值）：

   • 设 $I$ 的长度为 $L(a)=\frac{a}{1+a^2}$。

   • 利用导数求出 $L(a)$ 在区间 $[1-k,1+k]$ 上的单调性。

   • 导函数 $L^{\prime }(a)=\frac{1-a^2}{(1+a^2{)}^2}$，令 $L^{\prime }(a)=0$ 得 $a=1$。

   • 确定 $L(a)$ 在 $[1-k,1]$ 上递增，在 $[1,1+k]$ 上递减。

   • 最小值必在端点 $a=1-k$ 或 $a=1+k$ 处取得，需比较 $L(1-k)$ 与 $L(1+k)$ 的大小。

✅【答案】

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则区间 $I$ 的长度为 $L(a)=\frac{a}{1+a^2}-0=\frac{a}{1+a^2}$。；故当 $a=1-k$ 时，$I$ 的长度取得最小值，最小值为 $\frac{1-k}{k^2-2k+2}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解：

令 $f(x)=x[a-(1+a^2)x]=0$，解得 $x_1=0$，$x_2=\frac{a}{1+a^2}$。

由于 $a>0$，故 $1+a^2>0$，从而 $x_2>0$。

因为 $f(x)$ 是开口向下的抛物线，所以 $f(x)>0$ 的解集为区间 $\left(0,\frac{a}{1+a^2}\right)$。

即 $I=\left\{x\mid 0<x<\frac{a}{1+a^2}\right\}$。

则区间 $I$ 的长度为 $L(a)=\frac{a}{1+a^2}-0=\frac{a}{1+a^2}$。

（Ⅱ）解：

设 $L(a)=\frac{a}{1+a^2}$，$a\in [1-k,1+k]$。

对 $L(a)$ 求导：

$L^{\prime }(a)=\frac{1\cdot (1+a^2)-a\cdot 2a}{(1+a^2{)}^2}=\frac{1-a^2}{(1+a^2{)}^2}$

令 $L^{\prime }(a)=0$，得 $a=1$（负值舍去）。

当 $a\in [1-k,1)$ 时，$L^{\prime }(a)>0$，$L(a)$ 单调递增；

当 $a\in (1,1+k]$ 时，$L^{\prime }(a)<0$，$L(a)$ 单调递减。

因此，$L(a)$ 的最小值必在区间端点取得。

比较 $L(1-k)$ 与 $L(1+k)$ 的大小：

$L(1-k)=\frac{1-k}{1+(1-k{)}^2}=\frac{1-k}{2-2k+k^2}$

$L(1+k)=\frac{1+k}{1+(1+k{)}^2}=\frac{1+k}{2+2k+k^2}$

作差比较：

$L(1-k)-L(1+k)=\frac{(1-k)(2+2k+k^2)-(1+k)(2-2k+k^2)}{(2-2k+k^2)(2+2k+k^2)}$

分子部分为：$(2+2k+k^2-2k-2k^2-k^3)-(2-2k+k^2+2k-2k^2+k^3)$

$=(2-k^2-k^3)-(2-k^2+k^3)=-2k^3$。

因为 $k\in (0,1)$，所以 $-2k^3<0$，即 $L(1-k)<L(1+k)$。

故当 $a=1-k$ 时，$I$ 的长度取得最小值，最小值为 $\frac{1-k}{k^2-2k+2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：均值不等式背景下的函数单调性。$L(a)=\frac{a}{1+a^2}=\frac{1}{\frac{1}{a}+a}$，根据对勾函数的性质，当 $a=1$ 时取得最大值，离 $1$ 越远值越小。

核心方法：“比较法”。在确定最值点位于端点后，作差比较是验证最终结果的标准流程。

避坑指南：容易直接认为最小值在 $a=1+k$ 处取得（直观感觉分母更大），实际上由于分子也在变化，必须通过严格的代数比较。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二次函数的最值、分式函数的导数。

结论推广：函数 $y=\frac{x}{1+x^2}$ 在 $(0,1]$ 递增，在 $[1,+\infty )$ 递减，这是对勾函数的一种变体。

方法推广：涉及含参区间的最值问题，分类讨论导数零点与区间的相对位置是通用模板。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2015-广东卷文-11 填-二次不等式
• 2025-天津卷-15 填-一元二次不等式恒成立
• 2025-新高考II卷-04 单-分式不等式