2013-广东卷文-18 解-翻折三棱锥

本题导读

本题考查直线与平面平行的判定。核心在于翻折不变量分析、勾股逆定理定垂直的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(文)）如图①，在边长为 $1$ 的等边三角形 $A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 上的点， $A D = A E$ ， $F$ 是 $B C$ 的中点， $A F$ 与 $D E$ 交于点 $G$ ，将 $△ A B F$ 沿 $A F$ 折起，得到如图②所示的三棱锥 $A - B C F$ ，其中 $B C = \frac{2}{2}$ .

(1)证明： $D E ∥$ 平面 $B C F$ ；

(2)证明： $C F ⊥$ 平面 $A B F$ ；

(3)当 $A D = \frac{2}{3}$ 时，求三棱锥 $F - D E G$ 的体积 $V_{F - D E G}$ .

🔍【思路分析】

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（1）折叠不改变 $A D A E A B A C$ 的长 → $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ → $D E ∥ B C \subset$ 平面 $B C F$ 。

（2） $A F ⊥ B C$ （三线合一）→ 折后 $A F ⊥ C F$ ； $B F = C F = \frac{1}{2}$ ， $B C = \frac{2}{2}$ → $∠ B F C = 90°$ → $C F ⊥ B F$ ；两垂直相交 → $C F ⊥$ 平面 $A B F$ 。

（3） $D G ∥ B F$ ， $E G ∥ C F$ （均垂直于 $A F$ ）→ $∠ D GE = 90°$ ， $D G = E G = \frac{1}{3}$ ； $A F ⊥$ 平面 $D GE$ → 高 $F G = \frac{3}{6}$ ， $V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{18} \cdot \frac{3}{6} = \frac{3}{324}$ 。

✅【答案】

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(1)(2)见解析；(3) $V_{F - D E G} = \frac{3}{324}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）折起后 $D$ 在 $A B$ 上， $E$ 在 $A C$ 上。由 $A D = A E$ ， $A B = A C = 1$ ，得 $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C},$ 由平行线分线段成比例定理， $D E ∥ B C$ 。又 $B C \subset$ 平面 $B C F$ ， $D E \neq \subset$ 平面 $B C F$ ，故 $D E ∥$ 平面 $B C F$ 。（2）折叠前， $△ A B C$ 为等边三角形且 $F$ 为 $B C$ 中点，故 $A F ⊥ B C$ ，即 $A F ⊥ B F$ ， $A F ⊥ C F$ ；翻折后 $A F ⊥ B F$ 与 $A F ⊥ C F$ 仍成立。又 $B F = C F = \frac{1}{2}$ （等边三角形中线）， $B C = \frac{2}{2}$ ，由 $B F^{2} + C F^{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} = B C^{2},$ 得 $∠ B F C = 9 0^{\circ}$ ，即 $C F ⊥ B F$ 。又 $A F \cap B F = F$ ， $A F$ ， $B F \subset$ 平面 $A B F$ ，故 $C F ⊥$ 平面 $A B F$ 。（3） $A D = A E = \frac{2}{3}$ ，故 $D E ∥ B C$ 且 $D E = \frac{2}{3} B C$ ， $G$ 为 $A F$ 与 $D E$ 的交点，则 $A G = \frac{2}{3} A F$ ， $F G = \frac{1}{3} A F = \frac{3}{6}$ ，且 $D G = E G = \frac{1}{2} D E = \frac{1}{3}$ 。折起后： $D G \subset$ 折起半平面且 $D G ⊥ A F$ （折叠前 $D E ∥ B C ⊥ A F$ ，折叠保持）， $B F ⊥ A F$ ，故 $D G ∥ B F$ ；同理 $E G ∥ C F$ 。于是 $∠ D GE = ∠ B F C = 9 0^{\circ}$ （两平行线所成角）， $S_{△ D GE} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{18} .$ 又 $D G ⊥ A F$ ， $E G ⊥ A F$ ， $D G \cap E G = G$ ，故 $A F ⊥$ 平面 $D GE$ ，从而点 $F$ 到平面 $D GE$ 的距离 $h = F G = \frac{3}{6}$ 。所以 $V_{F - D E G} = \frac{1}{3} \times S_{△ D GE} \times h = \frac{1}{3} \times \frac{1}{18} \times \frac{3}{6} = \frac{3}{324} .$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：翻折问题中的平行与垂直

核心方法：折叠不改变 $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ → $D E$ 仍在 $A B A C$ 上成比例 → $D E ∥ B C$ ； $B F = C F = \frac{1}{2}$ ， $B C = \frac{2}{2}$ → $B F^{2} + C F^{2} = B C^{2}$ → $C F ⊥ B F$ ，又 $C F ⊥ A F$ → $C F ⊥$ 平面 $A B F$ ； $D G ∥ B F$ ， $E G ∥ C F$ → $∠ D GE = ∠ B F C = 90°$ ， $V_{F - D E G} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{18} \cdot \frac{3}{6} = \frac{3}{324}$

避坑指南：翻折后折痕两侧的图形形状不变： $A F$ 两侧的角（ $A F ⊥ B F$ 、 $A F ⊥ C F$ 、 $D G ⊥ A F$ 、 $E G ⊥ A F$ ）都保持；第（3）问关键看出 $D G ∥ B F$ 、 $E G ∥ C F$ （同侧垂直于 $A F$ ），于是 $∠ D GE$ 就是二面角的平面角； $F$ 到平面 $D E G$ 的距离就是 $F G$ ，别去作复杂的高线。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平面图形的翻折（等边三角形折成三棱锥，广东卷解答题）。

结论推广：比例保持证线面平行；勾股逆定理 + 线面垂直判定；平面角转化求体积。

方法推广：翻折不变量（角、线段）→ 定位平面角 → 等体积/直接求高。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

13.03 空间点、线、面位置关系

13.07 四面体的性质

类题演练 (Links)

2013-北京卷文-17 解-线面垂直面面垂直

2013-安徽卷文-18 解-菱形四棱锥垂直

2013-新课标II卷文-18 解-线面平行与棱锥体积

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2013-广东卷文-18 解-翻折三棱锥

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