2013-新课标II卷理-07 单-平行投影

本题导读

本题考查空间几何体的三视图，以及平行投影。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(理)） 7. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 $O-xyz$ 中的坐标分别是 $(1,0,1)$，$(1,1,0)$，$(0,1,1)$，$(0,0,0)$.画该四面体三视图中的正视图时，以 $zOx$ 平面为投影面，则得到正视图可以为()

🔍【思路分析】

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8. 理解投影原理：正视图以 $zOx$ 平面为投影面，意味着所有点向 $y=0$ 的平面进行垂直投影。在投影过程中，每个点的 $y$ 坐标被忽略，只保留 $(x,z)$ 坐标。
9. 计算投影点坐标：
   • $A(1,0,1)\to A^{\prime }(1,1)$（在 $xOz$ 坐标系中）
   • $B(1,1,0)\to B^{\prime }(1,0)$
   • $C(0,1,1)\to C^{\prime }(0,1)$
   • $D(0,0,0)\to D^{\prime }(0,0)$
10. 确定投影形状：投影点围成的是一个边长为 1 的正方形，其顶点为 $(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)$。
11. 判定虚实线（遮挡关系）：
    • 观察 $y$ 坐标：$y$ 坐标较大的点向较小的点看（或反之，取决于视点方向，通常正视图视点在 $y$ 轴负方向）。
    • 空间线段 $AC$ 与 $BD$ 是四面体的相对棱。
    • 线段 $AC$ 的投影是正方形的对角线，连接 $(1,1)$ 和 $(0,1)$？不对，重新对应坐标。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定投影点的平面坐标 $(x,z)$ 设四个顶点为 $P_1,P_2,P_3,P_4$：

• $P_1(1,0,1)⟹$ 投影点 $(1,1)$
• $P_2(1,1,0)⟹$ 投影点 $(1,0)$
• $P_3(0,1,1)⟹$ 投影点 $(0,1)$
• $P_4(0,0,0)⟹$ 投影点 $(0,0)$

这四个投影点在 $xOz$ 平面上构成了一个正方形的四个顶点。

第二步：分析棱的投影 四面体共有 6 条棱：

1. $P_1{P}_2$ 的投影：连接 $(1,1)$ 和 $(1,0)$，是正方形的右侧边。
2. $P_2{P}_3$ 的投影：连接 $(1,0)$ 和 $(0,1)$，是正方形的一条对角线。
3. $P_3{P}_4$ 的投影：连接 $(0,1)$ 和 $(0,0)$，是正方形的左侧边。
4. $P_4{P}_1$ 的投影：连接 $(0,0)$ 和 $(1,1)$，是正方形的另一条对角线。
5. $P_1{P}_3$ 的投影：连接 $(1,1)$ 和 $(0,1)$，是正方形的上侧边。
6. $P_2{P}_4$ 的投影：连接 $(1,0)$ 和 $(0,0)$，是正方形的下侧边。

第三步：判定遮挡（虚实线） 正视图视点沿 $y$ 轴正方向看。

• 棱 $P_2{P}_3$：$P_2$ 的 $y=1$，$P_3$ 的 $y=1$。这条棱在“后面”。
• 棱 $P_4{P}_1$：$P_4$ 的 $y=0$，$P_1$ 的 $y=0$。这条棱在“前面”。 因为前面没有面遮挡 $P_4{P}_1$，它应为实线。而 $P_2{P}_3$ 被四面体的体部遮挡（或者说位于视线更远端且被前面的棱交叉），在投影图中表现为被遮挡的对角线，应为虚线。

观察选项：正方形外框全为实线，两条对角线一实一虚。 选项 A 符合：左下到右上的对角线为实线，左上到右下的对角线为虚线。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正视图是空间几何体在垂直于观察视线的平面上的投影。

核心方法：坐标投影法。将空间坐标简化为平面坐标 $(x,z)$，可以极大地降低空间想象的难度。

避坑指南：注意区分“可见轮廓线”画实线，“被遮挡的轮廓线”画虚线。本题中两条对角线代表四面体的两组对棱。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：俯视图（投影到 $xOy$）、左视图（投影到 $yOz$）。

结论推广：若一个四面体的三组对棱分别相等，它被称为“等腰四面体”，可以嵌入到一个长方体中，其投影往往与长方体的面投影相关。

方法推广：遇到复杂的坐标投影题，列出点的 $(x,y,z)$ 表格并手动划掉投影平面不需要的那个轴坐标是最稳妥的做法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)