2013-新课标II卷理-17 解-正弦定理

本题导读

本题考查正弦定理。核心在于边角转化法、恒等变换法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(理)） 17. $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $a=b\cos C+c\sin B$.

(1)求 $B$；

(2)若 $b=2$，求 $△ABC$ 面积的最大值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求角）：
   • 观察已知等式 $a=b\cos C+c\sin B$，等式中既有边又有角，优先考虑利用正弦定理进行“边转角”。
   • 转化后利用诱导公式 $\sin A=\sin (B+C)$ 及两角和的正弦公式展开，通过抵消项寻找 $\sin B$ 与 $\cos B$ 的关系。
2. 第二问（求面积最值）：
   • 三角形面积公式为 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$。已知 $B$ 和 $b$，目标是求出 $ac$ 的最大值。
   • 利用余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ 建立方程。
   • 结合基本不等式 $a^2+c^2\ge 2ac$ 构造关于 $ac$ 的不等式，从而确定面积的上界。

✅【答案】

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$B=\frac{\pi }{4}$；$\sqrt{2}+1$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，已知等式 $a=b\cos C+c\sin B$ 可化为： $\sin A=\sin B\cos C+\sin C\sin B$

在 $△ABC$ 中，$A+B+C=\pi$，故 $\sin A=\sin (B+C)$。 利用两角和的正弦公式展开得： $\sin B\cos C+\cos B\sin C=\sin B\cos C+\sin C\sin B$

抵消两边的 $\sin B\cos C$ 项，得： $\cos B\sin C=\sin C\sin B$

由于 $C$ 为三角形内角，$\sin C\ne 0$，故： $\cos B=\sin B⟹\tan B=1$

又因为 $0<B<\pi$， 所以 $B=\frac{\pi }{4}$。

（Ⅱ）解： 由（Ⅰ）知 $B=\frac{\pi }{4}$。 三角形面积 $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}ac\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{4}ac$。

在 $△ABC$ 中，由余弦定理及 $b=2,B=\frac{\pi }{4}$ 得： $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ $4=a^2+c^2-2ac\cos \frac{\pi }{4}$ $4=a^2+c^2-\sqrt{2}ac$

由基本不等式 $a^2+c^2\ge 2ac$（当且仅当 $a=c$ 时等号成立）代入上式得： $4\ge 2ac-\sqrt{2}ac$ $4\ge (2-\sqrt{2})ac$

解得： $ac\le \frac{4}{2-\sqrt{2}}=\frac{4(2+\sqrt{2})}{4-2}=4+2\sqrt{2}$

所以面积 $S=\frac{\sqrt{2}}{4}ac\le \frac{\sqrt{2}}{4}(4+2\sqrt{2})=\sqrt{2}+1$。

故 $△ABC$ 面积的最大值为 $\sqrt{2}+1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理、余弦定理的综合应用；三角形面积公式及其最值。

核心方法：**“边角转换”**是处理此类问题的第一步。第二问中，利用余弦定理结合基本不等式是求乘积 $ac$ 范围的最常用手段。

避坑指南：在第一问中注意 $\sin C\ne 0$ 的说明；第二问计算 $ac$ 的范围时，根式的有理化化简要准确。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：辅助角公式、三角形的射影定理。

结论推广：在已知一边及其对角的情况下，该三角形当且仅当为等腰三角形时面积最大。

方法推广：解决此类最值问题，除了基本不等式，还可以尝试使用射影定理或通过正弦定理将 $a,c$ 统一化为关于角 $A$ 的三角函数，转化为三角函数的最值问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷文-14 填-正弦定理
• 2014-湖北卷文-13 填-正弦定理
• 2014-江西卷文-05 单-正弦定理