2013-江西卷理-10 单-弧长公式

本题导读

本题考查弧长公式，以及函数的图象。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(理)） 如图，半径为 1 的半圆 $O$ 与等边三角形 $ABC$ 夹在两平行线 $l_1,l_2$ 之间，$l\parallel l_1$，$l$ 与半圆相交于 $F,G$ 两点，与三角形 $ABC$ 两边相交于 $E,D$ 两点.设弧 $FG$ 的长为 $x$ ($0<x<\pi$)，$y=EB+BC+CD$.若 $l$ 从 $l_1$ 平行移动到 $l_2$，则函数 $y=f(x)$ 的图象大致是()

🔍【思路分析】

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1. 建立变量联系：自变量 $x$ 是弧长，因变量 $y=EB+BC+CD$。
2. 寻找几何关联：
   • 在半圆中，弧 $FG=x$，半径 $R=1$，则对应的圆心角 $\angle FOG=x$。
   • 设直线 $l$ 到 $l_1$ 的垂直距离为 $h$。在 $Rt△ONG$ 中（$N$ 为 $FG$ 中点），$h=1-\cos \frac{x}{2}$。
3. 分析三角形部分：
   • $△ABC$ 是等边三角形，设边长为 $a$。由对称性 $EB=CD$。
   • 在 $Rt△EBP$ 中（$P$ 为 $E$ 在 $BC$ 上的投影），$EP=h$，则 $EB=\frac{h}{\sin 60^{\circ }}=\frac{2\sqrt{3}}{3}h$。
4. 建立解析式： $y=2EB+BC=2\cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}(1-\cos \frac{x}{2})+a=\frac{4\sqrt{3}}{3}(1-\cos \frac{x}{2})+a$。
5. 图象判定：
   • 增减性：对 $x$ 求导，$y^{\prime }=\frac{4\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{1}{2}\sin \frac{x}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\sin \frac{x}{2}$。在 $(0,\pi )$ 上 $y^{\prime }>0$，函数递增。
   • 凹凸性：继续求二阶导，$y^{\prime \prime }=\frac{\sqrt{3}}{3}\cos \frac{x}{2}$。在 $(0,\pi )$ 上 $y^{\prime \prime }>0$，图象是**下凸（凹函数）**的，即增长速度越来越快。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：根据弧长公式确定高度 $h$。 由弧 $FG=x$ 且 $R=1$ 知，圆心角 $\angle FOG=x$。 作 $OM\perp l_1$，交 $l$ 于 $N$。在 $△OFG$ 中，$ON$ 为弦心距，$ON=\cos \frac{x}{2}$。 故直线 $l$ 提升的高度 $h=NM=OM-ON=1-\cos \frac{x}{2}$。

第二步：根据等边三角形性质确定 $y$。 在等边 $△ABC$ 中，$EB=CD$。 $EB=\frac{h}{\sin 60^{\circ }}=\frac{h}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}h$。 所以 $y=2EB+BC=\frac{4\sqrt{3}}{3}(1-\cos \frac{x}{2})+a$。 已知 $h$ 最大为高 $\frac{\sqrt{3}}{2}a=1⟹a=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。 代入得 $y=\frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}\cos \frac{x}{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}\cos \frac{x}{2}$。

第三步：判定图象特征。

• 当 $x\to 0$ 时，$y\to 2\sqrt{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$（对应图象起点）。
• 当 $x\to \pi$ 时，$y\to 2\sqrt{3}-0=2\sqrt{3}$（对应图象终点）。
• 分析变化率：由于 $\cos \frac{x}{2}$ 在 $(0,\pi )$ 上是减函数且减速变快（余弦函数在该段的导数绝对值变大），结合负号可知 $y$ 的增加速度越来越快。 二阶导 $y^{\prime \prime }=\frac{\sqrt{3}}{3}\cos \frac{x}{2}>0$，故图象为开口向上的弧。

故正确答案为：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：本题综合了弧长公式与三角函数的图象特征。 2. 解题技巧：对于复杂的变化过程，**“定性分析”**往往比“定量计算”更有效。 * 观察 $x$ 变大时，$h$ 的增加是先慢后快的（从圆底向上）。 * 由于 $y$ 与 $h$ 是线性关系，故 $y$ 的变化趋势与 $h$ 的变化趋势一致，即“增速递增”。

核心方法：见详细解析

避坑指南：不要误认为 $y$ 与 $x$ 是简单的线性关系（即 A 选项），弧长与高度的转换必然涉及三角函数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的凹凸性定义（$f^{\prime \prime }(x)>0$ 为下凸）；一元二次函数及基本初等函数的图象特征。

结论推广：见详细解析。

方法推广：面对“大致图象”类问题，先看单调性，再看极值/最值，最后看变化快慢（导数）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)