2013-浙江卷理-08 单-导数极值

本题导读

本题考查利用导数研究函数的极值，以及导数的运算法则。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(理)） 8. 已知 $e$ 为自然对数的底数，设函数 $f(x)=(e^x-1)(x-1{)}^k$ ($k=1,2$)，则 ()

A. 当 $k=1$ 时，$f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值

B. 当 $k=1$ 时，$f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极大值

C. 当 $k=2$ 时，$f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值

D. 当 $k=2$ 时，$f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极大值

🔍【思路分析】

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1. 分情况讨论：针对 $k=1$ 和 $k=2$ 两种情况分别求导。
2. 分析 $k=1$：求出 $f^{\prime }(1)$，观察 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=1$ 左右两侧的符号。若符号不变，则不是极值点；若由正变负为极大值，由负变正为极小值。
3. 分析 $k=2$：重复上述步骤。由于 $(x-1{)}^2$ 在 $x=1$ 处导数为 $0$ 且二阶导大于 $0$，通常预示着极小值，需严谨验证。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract


第一步：分析 $k=1$ 的情况 此时 $f(x)=(e^x-1)(x-1)$。 求导得：$f^{\prime }(x)=e^x(x-1)+(e^x-1)\cdot 1=x{e}^x-1$。 代入 $x=1$ 得：$f^{\prime }(1)=e-1\ne 0$。 因为导数在 $x=1$ 处不为 $0$，所以 $x=1$ 不是极值点。排除 A、B。

第二步：分析 $k=2$ 的情况 此时 $f(x)=(e^x-1)(x-1{)}^2$。 求导得：$f^{\prime }(x)=e^x(x-1{)}^2+(e^x-1)\cdot 2(x-1)$ 提取公因式：$f^{\prime }(x)=(x-1)[e^x(x-1)+2(e^x-1)]=(x-1)(x{e}^x+e^x-2)$。 代入 $x=1$ 得：$f^{\prime }(1)=0\cdot (e+e-2)=0$。

第三步：判定极值类型 令 $g(x)=x{e}^x+e^x-2$。 可知 $g(1)=2e-2>0$。根据函数的连续性，在 $x=1$ 的某个邻域内，$g(x)$ 始终大于 $0$。

• 当 $x$ 略小于 $1$ 时，$(x-1)<0$，则 $f^{\prime }(x)=(x-1)g(x)<0$，函数单调递减；
• 当 $x$ 略大于 $1$ 时，$(x-1)>0$，则 $f^{\prime }(x)=(x-1)g(x)>0$，函数单调递增。 导号由“负”变“正”，说明 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极值的必要条件（可导函数极值点处导数为 $0$）与充分条件（导数符号在两侧发生改变）。

核心方法：导数符号分析法。对于复杂的乘积形式，求导后提取出 $(x-x_0)$ 这一项，通过分析剩余部分的符号来快速判定。

避坑指南：很多同学看到 $f(1)=0$ 就习惯性认为它是极值点，实际上必须先看导数是否为 $0$。对于 $k=1$ 的情况，图象穿过 $x$ 轴但不平滑转向，因此不是极值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二阶导数判定法（若 $f^{\prime }(a)=0$ 且 $f^{\prime \prime }(a)>0$，则为极小值）。

结论推广：对于 $f(x)=g(x)(x-a{)}^k$（其中 $g(a)\ne 0$），若 $k$ 为偶数，则 $x=a$ 必为极值点；若 $k$ 为奇数，则 $x=a$ 通常不是极值点（除非 $g(x)$ 在该点也有零点）。

方法推广：在处理高阶零点附近的性质时，可以考虑泰勒展开的初等形式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2025-上海卷-19 解-导数极值
• 2023-新高考II卷-11 多-导数极值
• 2014-福建卷文-22 解-导数