2013-浙江卷理-16 填-正弦定理

本题导读

本题考查正弦定理，以及勾股定理。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(理)） 16. $△ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ }$，$M$ 是 $BC$ 的中点.若 $\sin \angle BAM=\frac{1}{3}$，则 $\sin \angle BAC=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设元建系：设 $AC=b,BC=a,AB=c$。由于 $M$ 是中点，则 $CM=MB=\frac{a}{2}$。
2. 应用正弦定理：在 $△ABM$ 中，已知 $\angle BAM$ 的正弦值，利用正弦定理 $\frac{BM}{\sin \angle BAM}=\frac{AB}{\sin \angle AMB}$ 建立 $a,c$ 与 $\angle AMB$ 的关系。
3. 角度转换：注意到 $\angle AMB$ 与 $\angle AMC$ 互补，其正弦值相等。且在 $Rt△ACM$ 中，$\sin \angle AMC=\cos \angle MAC$。
4. 建立方程：通过 $Rt△ACM$ 的边长表示 $\cos \angle MAC$，结合之前的比例式求出 $a,b$ 的关系。
5. 计算目标值：在 $Rt△ABC$ 中，利用 $\sin \angle BAC=\frac{a}{c}$ 进行求解。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{6}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract


第一步：在 $△ABM$ 中使用正弦定理 设 $AC=b,AB=c,BC=a$。由 $M$ 为中点得 $BM=\frac{a}{2}$。 在 $△ABM$ 中，由正弦定理得： $\frac{BM}{\sin \angle BAM}=\frac{AB}{\sin \angle AMB}⟹\frac{\frac{a}{2}}{\frac{1}{3}}=\frac{c}{\sin \angle AMB}$ 解得：$\sin \angle AMB=\frac{2c}{3a}$。

第二步：角度转化与代数表示 因为 $\angle AMB+\angle AMC=180^{\circ }$，所以 $\sin \angle AMC=\sin \angle AMB=\frac{2c}{3a}$。 在 $Rt△ACM$ 中： $AM=\sqrt{A{C}^2+C{M}^2}=\sqrt{b^2+(\frac{a}{2}{)}^2}$ $\sin \angle AMC=\frac{AC}{AM}=\frac{b}{\sqrt{b^2+\frac{a^2}{4}}}$

第三步：求解边长比例 由上述两式相等得： $\frac{b}{\sqrt{b^2+\frac{a^2}{4}}}=\frac{2c}{3a}$ 平方整理得：$\frac{b^2}{b^2+\frac{a^2}{4}}=\frac{4c^2}{9a^2}$。 由勾股定理 $c^2=a^2+b^2$ 代入上式： $\frac{4b^2}{4b^2+a^2}=\frac{4(a^2+b^2)}{9a^2}$ 化简得：$9a^2{b}^2=(a^2+b^2)(4b^2+a^2)=4a^2{b}^2+a^4+4b^4+a^2{b}^2$ 整理得：$a^4-4a^2{b}^2+4b^4=0$。 即 $(a^2-2b^2{)}^2=0⟹a^2=2b^2⟹a=\sqrt{2}b$。

第四步：求 $\sin \angle BAC$ 在 $Rt△ABC$ 中： $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2b^2+b^2}=\sqrt{3}b$ $\sin \angle BAC=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{2}b}{\sqrt{3}b}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理在非直角三角形中的应用；直角三角形中的三角比定义；勾股定理。

核心方法：“统一变量法”。通过几何关系将所有的三角函数值和线段长度最终转化为两个基本量（如 $a,b$）的比例。

避坑指南：在利用正弦定理时，要注意 $\angle AMB$ 并非直角。另外，在最后的代数运算中，利用因式分解化简双二次方程能极大减少计算量。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：余弦定理、共底三角形的性质。

结论推广：类似的中线问题，常可以通过建立坐标系或使用余弦定理来解决。

方法推广：涉及角平分线或中线时，**“面积法”**也是一种非常有效的辅助手段（$S_{△ABC}=S_{△ABM}+S_{△ACM}$）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷文-14 填-正弦定理
• 2014-湖北卷文-13 填-正弦定理
• 2014-江西卷文-05 单-正弦定理