2013-湖北卷理-10 单-导数极值

本题导读

本题考查利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(理)） 已知 $a$ 为常数，函数 $f(x)=x(\ln x-ax)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$ ($x_1<x_2$)，则()

A. $f(x_1)>0$，$f(x_2)>-\frac{1}{2}$　　　　　B. $f(x_1)<0$，$f(x_2)<-\frac{1}{2}$

C. $f(x_1)>0$，$f(x_2)<-\frac{1}{2}$　　　　　D. $f(x_1)<0$，$f(x_2)>-\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求导并确定定义域：函数定义域为 $(0,+\infty )$，求导得 $f^{\prime }(x)=\ln x-2ax+1$。
2. 转化极值点问题：极值点 $x_1,x_2$ 是方程 $f^{\prime }(x)=0$ 的两个根。令 $g(x)=\ln x+1$，则方程等价于 $g(x)=2ax$。
3. 确定参数 $a$ 的范围：通过切线判定，当直线 $y=2ax$ 与 $y=\ln x+1$ 相切时，$a=\frac{1}{2}$。为了有两个交点且横坐标均为正，需满足 $0<a<\frac{1}{2}$。
4. 判定极值点位置：考察 $a$ 接近 $\frac{1}{2}$ 的情形（或取特殊值 $a=\frac{1}{4}$），可以判定 $x_1<1<x_2$。
5. 代入极值关系：极值点处满足 $\ln x_i=2a{x}_i-1$。将其代入原函数 $f(x_i)=x_i(\ln x_i-a{x}_i)=x_i(a{x}_i-1)$。
6. 确定极值正负：分析二次函数 $h(x)=a{x}^2-x$ 在 $x_1,x_2$ 处的符号。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求导与根的分布 $f^{\prime }(x)=\ln x-ax+x\cdot (\frac{1}{x}-a)=\ln x-2ax+1$。 由于有两个极值点，$x_1,x_2$ 是 $\ln x+1=2ax$ 的两不相等实根。 令 $H(x)=\ln x-2ax+1$，则 $H^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-2a$。 当 $x=\frac{1}{2a}$ 时，$H(x)$ 取得最大值 $H(\frac{1}{2a})=\ln (\frac{1}{2a})-1+1=-\ln (2a)$。 要使 $H(x)$ 有两个零点，需 $-\ln (2a)>0⟹2a<1⟹0<a<\frac{1}{2}$。 此时 $x_1<\frac{1}{2a}<x_2$。

第二步：简化极值表达式 在极值点 $x_i$ 处，$\ln x_i=2a{x}_i-1$。 代入 $f(x)$： $f(x_i)=x_i(2a{x}_i-1-a{x}_i)=x_i(a{x}_i-1)=a{x}_i^2-x_i$

第三步：判定 $f(x_1)$ 由于 $x_1$ 是方程 $\ln x+1=2ax$ 较小的根，观察图象可知 $x_1<\frac{1}{2a}$。 考察 $h(x)=a{x}^2-x=x(ax-1)$。由于 $a<\frac{1}{2}$ 且 $x_1>0$。 因为 $x_1<1$（当 $a=\frac{1}{4}$ 时，$\ln x+1=\frac{1}{2}x$ 的小根约为 $0.2$），且 $a{x}_1<a\cdot \frac{1}{2a}=\frac{1}{2}$。 所以 $a{x}_1-1<0$，从而 $f(x_1)<0$。

第四步：判定 $f(x_2)$ 令 $a=\frac{1}{2}$ 时，$x_1=x_2=1$，此时 $f(1)=1(\ln 1-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}$。 当 $0<a<\frac{1}{2}$ 时，极大值点 $x_2>1$。 考察函数 $m(a)=f(x_2)$ 随 $a$ 减小而增大（图象上大根向右移动，对应的截距增加）。 因此 $f(x_2)>f(1)=-\frac{1}{2}$。

综上，$f(x_1)<0$ 且 $f(x_2)>-\frac{1}{2}$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极值点方程的转化与数形结合。

核心方法：“代数代换法”。极值题目中，用 $\ln x_i=2a{x}_i-1$ 消去对数项，将极值转化为关于 $x_i$ 的多项式，是解题的通用捷径。

避坑指南：注意 $x_1,x_2$ 是关于 $a$ 的函数，直接求其范围较难，利用临界点 $a=\frac{1}{2}$ 对应的 $x=1$ 作为参考点进行比较最为稳妥。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极值点方程的转化与数形结合。

结论推广：此类问题常涉及 $e^x\ge x+1$ 或 $\ln x\le x-1$ 等基础不等式的变式应用。

方法推广：利用特殊值 $a=\frac{1}{4}$ 等进行排除法，可以在考场上快速锁定正确选项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2025-上海卷-19 解-导数极值
• 2023-新高考II卷-11 多-导数极值
• 2014-福建卷文-22 解-导数