2013-湖南卷理-20 解-曼哈顿距离

本题导读

本题考查新定义。核心在于坐标分析法、分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(理)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，将从点 $M$ 出发沿纵、横方向到达点 $N$ 的任一路径成为 $M$ 到 $N$ 的一条“L路径”.如图 6 所示的路径 $M{M}_1{M}_2{M}_{3}N$ 与路径 $M{N}_{1}N$ 都是 $M$ 到 $N$ 的“L路径”.某地有三个新建的居民区，分别位于平面 $xOy$ 内三点 $A(3,20),B(-10,0),C(14,0)$ 处.现计划在 $x$ 轴上方区域（包含 $x$ 轴）内的某一点 $P$ 处修建一个文化中心.

(1)写出点 $P$ 到居民区 $A$ 的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；

(2)若以原点 $O$ 为圆心，半径为 1 的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点 $P$ 的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（最小L距离）：
   • 观察定义，从 $M(x_1,y_1)$ 到 $N(x_2,y_2)$ 的“L路径”是由平行于轴的线段组成的。
   • 长度最小值即为水平位移与垂直位移之和，即 $|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$。
2. 第二问（障碍物下的极值点）：
   • 定义目标函数：设 $P(x,y)$，$y\ge 0$。目标是最小化 $d=d(P,A)+d(P,B)+d(P,C)$。
   • 处理障碍物：保护区是单位圆。如果 $P$ 或居民区之间的直达L路径穿过圆，则需要绕行。
     • 居民区 $B(-10,0)$ 和 $C(14,0)$ 在圆外且在 $x$ 轴上。
     • 如果 $P(x,y)$ 的 $y\ge 1$，则前往 $B,C$ 的路径可以完全避开圆。此时距离和即为标准曼哈顿距离和。
     • 如果 $0\le y<1$，路径可能需要绕过圆（例如通过 $(0,1)$ 或 $(0,-1)$ 点）。
   • 数学建模：
     • $d_1(x)=|x-3|+|x+10|+|x-14|$。根据绝对值不等式中点原则，当 $x=3$ 时取得最小值。
     • $d_2(y)=|y-20|+|y-0|+|y-0|$（针对 $B,C$）。考虑到不能穿过圆，若 $P$ 在 $x$ 轴上方且需避开圆心，计算实际绕行路程。

✅【答案】

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综上所述，当点 $P$ 的坐标为 $(3,1)$ 时，到三个居民区的“L路径”长度之和最小

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 点 $P(x,y)$ 到居民区 $A(3,20)$ 的“L路径”长度最小值为： $d(P,A)=|x-3|+|y-20|,x\in \mathbb{R},y\in [0,+\infty )$

（Ⅱ）解： 设文化中心 $P$ 的坐标为 $(x,y)$，其中 $y\ge 0$。 由于保护区是以原点为圆心，半径为 1 的圆，且居民区 $B,C$ 在 $x$ 轴上。

1. 当 $y\ge 1$ 时： 点 $P$ 到 $A,B,C$ 的“L路径”长度之和 $d$ 为： $d=|x-3|+|y-20|+|x+10|+|y-0|+|x-14|+|y-0|$ $d=(|x-3|+|x+10|+|x-14|)+(|y-20|+2y)$ 令 $d_1(x)=|x-3|+|x+10|+|x-14|$。 由绝对值几何意义，当 $x=3$ 时，$d_1(x)$ 取得最小值 $|3+10|+|3-14|=13+11=24$。 令 $d_2(y)=|y-20|+2y$。 由于 $y\ge 1$，当 $y=1$ 时，$d_2(y)=19+2=21$。 此时，$d_{\min }=24+21=45$。对应点为 $P(3,1)$。

2. 当 $0\le y<1$ 时： 若点 $P$ 的横坐标 $x$ 使得前往 $B$ 或 $C$ 的路径必须穿过单位圆（即横跨 $x=0$ 附近），则必须向上绕行至 $y=1$ 或向下绕行（本题限定 $y\ge 0$）。 此时实际路径长度为： $d=|x-3|+|y-20|+|x+10|+|x-14|+2\times (\text{绕行距离})$ 经分析（见解析图示），当 $y<1$ 时，$d_2(y)=|y-20|+y+y+2(1-y)=22-y$。 当 $y\to 1$ 时，$d_2(y)\to 21$；当 $y=0$ 时，$d_2(y)=22>21$。 因此，最小值仍在 $y=1$ 处取得。

综上所述，当点 $P$ 的坐标为 $(3,1)$ 时，到三个居民区的“L路径”长度之和最小。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：曼哈顿距离的性质及最值求解。 2. 关键结论：对于一元绝对值和 $f(x)=\sum |x-a_i|$，其最小值在 $a_i$ 的中位数处取得。

核心方法：见详细解析

避坑指南：第二问的障碍物限制是解题难点。需要意识到由于 $B,C$ 在 $x$ 轴两侧，经过原点附近的路径必须抬升到 $y=1$ 才能避开圆，这本质上增加了 $2\times (1-y)$ 的额外垂直位移。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：切比雪夫距离、欧几里得距离与闵可夫斯基距离的对比。

结论推广：曼哈顿距离广泛应用于城市规划（网格化道路）和计算机算法（如A*寻路辅助启发函数）。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)