2014-上海卷文-11 填-分数指数幂

本题导读

考查分数指数幂的运算与幂不等式。定义域先行，再合并指数。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(文)） 若 $f(x)=x^{\frac{2}{3}}-x^{-\frac{1}{2}}$，则满足 $f(x)<0$ 的 $x$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 定义域：$x^{-\frac{1}{2}}$ 要求 $x>0$。
2. $f(x)<0⟺x^{\frac{2}{3}}<x^{-\frac{1}{2}}$。
3. 两边同乘 $x^{\frac{1}{2}}$：$x^{\frac{7}{6}}<1$。

✅【答案】

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$(0,1)$

✍【详细解析】

Abstract

由 $x^{-\frac{1}{2}}$ 有意义知 $x>0$。在 $x>0$ 上

$x^{\frac{2}{3}}-x^{-\frac{1}{2}}<0⟺x^{\frac{2}{3}}<x^{-\frac{1}{2}}⟺x^{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}}<1⟺x^{\frac{7}{6}}<1.$

由幂函数 $t\mapsto t^{\frac{7}{6}}$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，得 $0<x<1$，故所求范围为 $(0,1)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分数指数幂的运算；幂函数的单调性。

2. 核心方法：“定义域先行，指数合并”，把不等式化成 $x^k<1$ 型。

3. 避坑指南：$x^{-\frac{1}{2}}$ 要求 $x>0$，定义域不能漏；两边同乘 $x^{\frac{1}{2}}$ 时因 $x>0$ 不变号，这一步的前提要先说明。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 分数指数幂与幂函数是上海卷的常规考点，常以不等式形式出现。

2. 结论推广: 若改为 $f(x)>0$，则 $x^{\frac{7}{6}}>1$，解为 $x>1$。

3. 方法推广: “正底数幂不等式两边同乘正次幂”是化简幂不等式的标准手法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-四川卷文-05 单-不等式性质