2014-上海卷文-21 解-广告牌测角

本题导读

测量型应用题。第(1)问在”铅垂”模型下用两个直角三角形把 $\alpha ,\beta$ 用 $h$ 表示，解不等式 $\alpha ⩾2\beta$；第(2)问广告牌倾斜后改用斜三角形，正弦定理 + 余弦定理算 $CD$。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(文)） 如图，某公司要在 $A$、$B$ 两地连线上的定点 $C$ 处建造广告牌 $CD$，其中 $D$ 为顶端，$AC$ 长 35 米，$CB$ 长 80 米. 设点 $A$、$B$ 在同一水平面上，从 $A$ 和 $B$ 看 $D$ 的仰角分别为 $\alpha$ 和 $\beta$.

(1) 设计中 $CD$ 是铅垂方向. 若要求 $\alpha ⩾2\beta$，问 $CD$ 的长至多为多少（结果精确到 0.01 米）？

(2) 施工完成后，$CD$ 与铅垂方向有偏差. 现在实测得 $\alpha =38.12^{\circ }$，$\beta =18.45^{\circ }$，求 $CD$ 的长（结果精确到 0.01 米）.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：铅垂时 $\tan \alpha =\frac{h}{35}$，$\tan \beta =\frac{h}{80}$，$\alpha ⩾2\beta$ 等价于正切不等式。
2. $\tan 2\beta =\frac{2\tan \beta }{1-{\tan }^2\beta }$，代入后约去 $h$ 得关于 $h$ 的二次不等式。
3. 第(2)问：在 $△ABD$ 中用正弦定理求 $AD$，再在 $△ACD$ 中用余弦定理求 $CD$。

✅【答案】

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(1) $CD$ 的长至多为 $20\sqrt{2}\approx 28.28$ 米

(2) $CD$ 的长约为 $26.93$ 米

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $CD=h$。因 $CD$ 铅垂，$AC=35$，$CB=80$，在两个直角三角形中

$\tan \alpha =\frac{h}{35},\tan \beta =\frac{h}{80}.$

因 $\alpha ,2\beta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$（$h<80$ 时 $\beta <45^{\circ }$），$\alpha ⩾2\beta$ 等价于 $\tan \alpha ⩾\tan 2\beta$。由倍角公式

$\tan 2\beta =\frac{2\tan \beta }{1-{\tan }^2\beta }=\frac{2\cdot \frac{h}{80}}{1-\frac{h^2}{6400}}=\frac{160h}{6400-h^2}.$

于是

$\frac{h}{35}⩾\frac{160h}{6400-h^2}⟹6400-h^2⩾5600⟹h^2⩽800⟹h⩽20\sqrt{2}\approx \mathrm{28.28.}$

故 $CD$ 的长至多为 $20\sqrt{2}\approx 28.28$ 米。

(2) 施工后 $CD$ 倾斜，$D$ 不在 $C$ 的正上方。在 $△ABD$ 中，$AB=AC+CB=115$，$\angle A=\alpha =38.12^{\circ }$，$\angle B=\beta =18.45^{\circ }$，故

$\angle ADB=180^{\circ }-38.12^{\circ }-18.45^{\circ }=123.43^{\circ }.$

由正弦定理

$AD=\frac{AB\sin \beta }{\sin \angle ADB}=\frac{115\sin 18.45^{\circ }}{\sin 123.43^{\circ }}\approx \frac{115\times 0.31648}{0.83456}\approx \mathrm{43.61.}$

在 $△ACD$ 中，$AC=35$，$\angle CAD=\alpha =38.12^{\circ }$，由余弦定理

$C{D}^2=A{C}^2+A{D}^2-2\cdot AC\cdot AD\cos \alpha =35^2+43.61^2-2\times 35\times 43.61\times \cos 38.12^{\circ }\approx \mathrm{725.2.}$

故 $CD\approx 26.93$ 米.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：仰角与直角三角形建模；倍角正切公式；正弦定理与余弦定理；测量问题的近似计算。

2. 核心方法：“铅垂时用直角三角形 + 正切，倾斜时用斜三角形 + 正弦/余弦定理”，两问恰好覆盖解三角形的两大模型。

3. 避坑指南：① $\tan 2\beta$ 的分母 $1-{\tan }^2\beta$ 为正的前提是 $\beta <45^{\circ }$，需由 $h<80$ 先行说明；② 不等式两边约去 $h$ 时 $h>0$；③ 第(2)问中 $CD$ 的长不等于 $D$ 到 $AB$ 的垂线段长（后者 $\approx 26.92$），把倾斜的 $CD$ 当铅垂算会得到错误精度。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 上海卷的解三角形应用题常以”广告牌、铁塔、山高”为背景，两问分别对应”设计”与”实测”两个阶段。

2. 结论推广: 若把 $AC:CB$ 改为其他比例，第(1)问的临界值变为 $h^2⩽AC\cdot (CB-AC)\cdot \frac{CB}{\dots }$ 型的对应式，方法不变；第(2)问恒用”大三角形正弦 + 小三角形余弦”。

3. 方法推广: “先辨模型（垂直/斜置），再选定理（直角三角形勾股或正余弦定理）“是解三角形应用题的决策树。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-16 填-解三角形测高
• 2014-四川卷文-08 单-俯角解三角形