2014-北京卷理-05 单-等比数列的性质

本题导读

本题考查等比数列单调性的判定条件。通过构造反例，考查学生对等比数列首项 $a_1$ 和公比 $q$ 共同决定数列单调性这一核心概念的理解，以及对逻辑充要条件的判定能力。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(理)） 设 $\{a_n\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，则“$q>1$”是“$\{a_n\}$ 为递增数列”的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析充分性：若 $q>1$，数列是否一定递增？考虑首项 $a_1$ 的正负。
2. 分析必要性：若数列递增，是否一定有 $q>1$？考虑首项为负数且公比为正分数的情况。
3. 判定结论：根据逻辑推导符号 $⟹$ 的成立情况，确定选项。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：验证充分性（$q>1⟹\{a_n\}$ 为递增数列？） 取 $a_1=-1$，$q=2$。 此时 $q>1$ 成立，但数列为 $-1,-2,-4,\dots$，这是一个递减数列。 故充分性不成立。

第二步：验证必要性（$\{a_n\}$ 为递增数列 $⟹q>1$？） 取 $a_1=-1$，$q=\frac{1}{2}$。 此时数列为 $-1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{4},\dots$，这是一个递增数列。 但此时 $q=\frac{1}{2}<1$，故 $q>1$ 不成立。 故必要性不成立。

第三步：得出结论 综上所述，“$q>1$”既不是“$\{a_n\}$ 为递增数列”的充分条件，也不是必要条件。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列单调性与充要条件判定。

2. 核心方法：构造首项为负的反例否定充分性与必要性。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 等比数列单调性由首项 $a_1$ 与公比 $q$ 共同决定。

2. 结论推广: $q>1$ 不能单独推出递增数列，须结合 $a_1$ 的正负。

3. 方法推广: 判断命题真假可构造反例快速否定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 19.02 等比数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

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