2014-北京卷理-11 填-双曲线的简单几何性质

本题导读

本题考查具有相同渐近线的双曲线方程的求法。核心技巧是掌握共渐近线双曲线系方程的设法，通过已知点代入确定参数，最后根据标准方程求出渐近线。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(理)） 设双曲线 $C$ 经过点 $(2,2)$，且与 $\frac{y^2}{4}-x^2=1$ 具有相同渐近线，则 $C$ 的方程为 $\underline{}$；渐近线方程为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设出双曲线系方程：与双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 具有相同渐近线的双曲线系方程可设为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda$ ($\lambda \ne 0$)。本题中参考方程为 $\frac{y^2}{4}-x^2=1$，故可设 $C$ 的方程为 $\frac{y^2}{4}-x^2=\lambda$。

2. 待定系数求解：将已知点 $(2,2)$ 代入所设方程，求出常数 $\lambda$。

3. 化为标准方程：根据 $\lambda$ 的正负，将方程整理为 $\frac{x^2}{a^{\prime 2}}-\frac{y^2}{b^{\prime 2}}=1$ 或 $\frac{y^2}{b^{\prime 2}}-\frac{x^2}{a^{\prime 2}}=1$ 的形式。

4. 求渐近线：令双曲线方程中的常数项为 $0$，即可直接解出渐近线方程。

✅【答案】

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$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{12}=1$ ； $y=\pm 2x$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：设出方程

因为双曲线 $C$ 与 $\frac{y^2}{4}-x^2=1$ 具有相同渐近线，

所以可设双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{y^2}{4}-x^2=\lambda$ ($\lambda \ne 0$)。

第二步：代入点坐标求参数

将点 $(2,2)$ 代入方程：

$\frac{2^2}{4}-2^2=\lambda$

$1-4=\lambda$

$\lambda =-3$

所以双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{y^2}{4}-x^2=-3$。

第三步：整理为标准形式

方程两边同除以 $-3$ 得：

$-\frac{y^2}{12}+\frac{x^2}{3}=1⟹\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{12}=1$

第四步：求渐近线方程

令 $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{12}=0$，得 $\frac{y^2}{12}=\frac{x^2}{3}$，即 $y^2=4x^2$。

解得渐近线方程为 $y=\pm 2x$。

故答案为 $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{12}=1$ ； $y=\pm 2x$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：共渐近线双曲线系方程与渐近线求法。

2. 核心方法：设 $\frac{y^2}{4}-x^2=\lambda$ 代入点求 $\lambda$，再令常数为 0 求渐近线。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 共渐近线双曲线系 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda$。

2. 结论推广: 双曲线渐近线由令标准方程常数项为 0 得到。

3. 方法推广: 求与已知双曲线共渐近线的曲线用待定系数法。

🔗【关联脉络】

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