2014-四川卷理-05 单-条件分支结构

本题导读

本题将程序框图与线性规划相结合，考查对条件结构的理解以及目标函数在可行域内求最值的基本方法。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(理)） 执行如图所示的程序框图，如果输入的 $x,y\in R$，则输出的 $S$ 的最大值为 ()

A. 0　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解析程序逻辑：观察框图中的判断框。
   • 若满足 $x\ge 0,y\ge 0,x+y\le 1$，则执行 $S=2x+y$。
   • 若不满足上述条件，则执行 $S=1$。
2. 转化数学模型：问题转化为在约束条件 $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 1\end{array}$ 下，求目标函数 $S=2x+y$ 的最大值，并将其与常数 $1$ 进行比较。
3. 求解最值：利用数形结合法，画出可行域，平移直线 $2x+y=0$ 找到最优解。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析程序分支 该框图是一个条件分支结构：

• 分支 1：当点 $(x,y)$ 在可行域 $D:\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 1\end{array}$ 内时，$S=2x+y$。
• 分支 2：当点 $(x,y)$ 不在上述区域内时，$S=1$。

第二步：计算分支 1 的最大值 可行域 $D$ 是以 $(0,0),(1,0),(0,1)$ 为顶点的三角形区域。 对于目标函数 $S=2x+y$，将其看作斜率为 $-2$ 的平行直线系 $y=-2x+S$：

• 当直线经过点 $(1,0)$ 时，$S$ 取得最大值。
• $S_{max}=2(1)+0=2$。

第三步：确定全局最大值

• 分支 1 能提供的最大值是 $2$。
• 分支 2 的固定值是 $1$。 由于 $2>1$，所以整个程序输出的 $S$ 的最大值为 $2$。

故选 C


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：程序框图的逻辑判定，可行域的绘制。

2. 核心方法：数形结合。在线性规划中，目标函数的最大值通常在可行域的顶点处取得。

3. 避坑指南：不要忽略分支 2 的输出值 $1$。虽然本题中分支 1 的最大值大于 $1$，但在某些题目中，分支 2 的常数可能是全局最大值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 算法的循环结构、非线性规划初步。

2. 结论推广: 若目标函数改为 $S=x+y$，则分支 1 的最大值为 $1$，此时输出的 $S$ 最大值仍为 $1$。

3. 方法推广: 数形结合。在线性规划中，目标函数的最大值通常在可行域的顶点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)