2014-四川卷理-13 填-高度与宽度测量问题

本题导读

本题考查三角函数在实际测量中的应用。通过俯角和高度构建几何模型，利用正弦定理或直角三角形边角关系求解河流宽度。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(理)） 如图，从气球 $A$ 上测得正前方的河流的两岸 $B,C$ 的俯角分别为 $67^{\circ },30^{\circ }$，此时气球的高是 $46\text{m}$，则河流的宽度 $BC$ 约等于 $\underline{}$ $\text{m}$.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：$\sin 67^{\circ }\approx 0.92$，$\cos 67^{\circ }\approx 0.39$，$\sin 37^{\circ }\approx 0.60$，$\cos 37^{\circ }\approx 0.80$，$\sqrt{3}\approx 1.73$）

🔍【思路分析】

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1. 构建几何模型：设气球在地面上的投影点为 $H$。则 $AH=46$，$AH\perp HC$。
2. 利用俯角转换内角：
   • 仰角 $\angle ACH=30^{\circ }$。
   • 仰角 $\angle ABH=67^{\circ }$。
   • 由此得 $\angle ABC=180^{\circ }-67^{\circ }=113^{\circ }$，$\angle BAC=67^{\circ }-30^{\circ }=37^{\circ }$。
3. 求解边长：
   • 在 Rt$△ABH$ 中，利用 $\sin 67^{\circ }$ 或 $\cos 67^{\circ }$ 求出 $AB$。
   • 在 $△ABC$ 中，已知 $AB$、$\angle BAC$ 和 $\angle C$，利用正弦定理求解 $BC$。

✅【答案】

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$60$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：在直角三角形中求解 $AB$ 在 Rt$△ABH$ 中，$AH=46$，$\angle ABH=67^{\circ }$。 根据正弦定义： $\sin 67^{\circ }=\frac{AH}{AB}⟹AB=\frac{46}{\sin 67^{\circ }}$ 代入参考数据： $AB\approx \frac{46}{0.92}=50$

第二步：在 $△ABC$ 中利用正弦定理 在 $△ABC$ 中：

• $\angle C=30^{\circ }$。
• $\angle BAC=67^{\circ }-30^{\circ }=37^{\circ }$。 根据正弦定理： $\frac{BC}{\sin \angle BAC}=\frac{AB}{\sin C}$ $\frac{BC}{\sin 37^{\circ }}=\frac{50}{\sin 30^{\circ }}$

第三步：计算结果 $BC=\frac{50\times \sin 37^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=\frac{50\times 0.60}{0.5}$ $BC=\frac{30}{0.5}=60$

故答案为 $60$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$。 2. 解题技巧：俯角问题通常转化为地面三角形的内角。本题中 $△ABC$ 并不是直角三角形，使用正弦定理比分两次解直角三角形更快捷。

2. 核心方法：把俯角转化为地面三角形的内角，再用正弦定理求解

3. 避坑指南：注意计算精度。题目给出的参考数据较为精确，计算过程中尽量保持步骤简洁以减少误差积累。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 方位角、坡度等测量学基本概念。

2. 结论推广: 测量问题中的俯角可转化为三角形的内角关系。

3. 方法推广: 斜三角形测量问题优先用正弦定理

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)