2014-大纲卷理-08 单-球内接多面体

本题导读

本题考查正四棱锥外接球的表面积计算。核心在于确定球心的位置，并利用直角三角形中的勾股定理建立半径、棱锥高与底面外接圆半径之间的数量关系。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(理)） 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为()

A. $\frac{81\pi }{4}$　　　　　　B. $16\pi$　　　　　　C. $9\pi$　　　　　　D. $\frac{27\pi }{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定球心位置：由于是正四棱锥，其外接球的球心 $O$ 必然在棱锥的高 $PH$ 所在的直线上（其中 $P$ 为顶点，$H$ 为底面中心）。

2. 构建直角三角形：连接球心 $O$ 与底面一个顶点 $A$。在 $Rt△OHA$ 中，利用勾股定理建立等式。

   • 设球半径为 $R$。

   • 则 $OA=R$。

   • $HA$ 是底面正方形外接圆的半径。

   • $OH=|PH-R|$（或 $|R-PH|$）。

3. 求解半径并计算面积：解方程求出 $R$，代入球的表面积公式 $S=4\pi R^2$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析几何参数

设正四棱锥为 $P-ABCD$，高 $PH=4$，底面边长 $AB=2$。

底面正方形 $ABCD$ 的中心为 $H$，则对角线 $AC=2\sqrt{2}$。

底面中心到顶点的距离 $HA=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$。

第二步：利用勾股定理求半径 $R$

设外接球球心为 $O$，半径为 $R$。球心 $O$ 在 $PH$ 上。

连接 $OA$，在 $Rt△OHA$ 中：

$O{A}^2=O{H}^2+H{A}^2$

$R^2=(4-R{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2$

$R^2=16-8R+R^2+2$

$8R=18$

解得 $R=\frac{9}{4}$。

第三步：计算表面积

根据球的表面积公式：

$S=4\pi R^2=4\pi \cdot {\left(\frac{9}{4}\right)}^2$

$S=4\pi \cdot \frac{81}{16}=\frac{81\pi }{4}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球心到多面体各顶点的距离相等（均为 $R$）。

2. 核心方法：对于正棱锥、直棱柱的外接球问题，“构造直角三角形”是通用方法。

3. 避坑指南：计算 $OH$ 时，要注意球心可能在棱锥内部也可能在外部，但公式 $(H-R{)}^2$ 展开后结果一致，不影响最终计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 球的体积公式 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$、球的切面性质。

2. 结论推广: 正四棱锥外接球半径公式 $R=\frac{h^2+r^2}{2h}$，其中 $h$ 为高，$r$ 为底面外接圆半径。

3. 方法推广: 补形法。有些特殊的内接体可以通过补成长方体来快速求直径（体对角线）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2025-北京卷-14 填-多面体体积
• 2026-新高考II卷-14 填-外接球
• 2025-新高考II卷-14 填-内切球