2014-天津卷文-15 解-古典概型

本题导读

先把 $15$ 种基本事件按顺序列全，再按“不同年级且一男一女”筛选。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(文)） 某校夏令营有 $3$ 名男同学 $A$，$B$，$C$ 和 $3$ 名女同学 $X$，$Y$，$Z$，其年级情况如下表：

年级	一年级	二年级	三年级
男同学	$A$	$B$	$C$
女同学	$X$	$Y$	$Z$

现从这 $6$ 名同学中随机选出 $2$ 人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）.

(1) 用表中字母列举出所有可能的结果；

(2) 设 $M$ 为事件“选出的 $2$ 人来自不同年级且恰有 $1$ 名男同学和 $1$ 名女同学”，求事件 $M$ 发生的概率.

🔍【思路分析】

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(1) 按“依次取两人”的顺序成对列举；(2) 不同年级的男女搭配共有 $6$ 组。

✅【答案】

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(1) 所有可能的结果为 $(A,B)$，$(A,C)$，$(A,X)$，$(A,Y)$，$(A,Z)$，$(B,C)$，$(B,X)$，$(B,Y)$，$(B,Z)$，$(C,X)$，$(C,Y)$，$(C,Z)$，$(X,Y)$，$(X,Z)$，$(Y,Z)$，共 $15$ 种 (2) $\frac{2}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 从这 $6$ 名同学中随机选出 $2$ 人，所有可能的结果为 $(A,B)$，$(A,C)$，$(A,X)$，$(A,Y)$，$(A,Z)$，$(B,C)$，$(B,X)$，$(B,Y)$，$(B,Z)$，$(C,X)$，$(C,Y)$，$(C,Z)$，$(X,Y)$，$(X,Z)$，$(Y,Z)$，共 $15$ 种。 (2) 事件 $M$ 所含的结果为：一年级的 $A$ 与二年级的 $Y$、三年级的 $Z$；二年级的 $B$ 与一年级的 $X$、三年级的 $Z$；三年级的 $C$ 与一年级的 $X$、二年级的 $Y$，共 $6$ 种。 故 $P(M)=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型

2. 核心方法：用列举法写出基本事件

3. 避坑指南：“不同年级”要对照表格逐列查看，$(A,Y)$ 与 $(A,Z)$ 都可、$(A,B)$ 与 $(A,C)$ 都不可；列举时把 $(A,B)$ 与 $(B,A)$ 视作同一结果，基本事件总数为 ${\mathrm{C}}_6^2=15$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 古典概型与列举法。

2. 结论推广: 古典概型 $P(A)=\frac{A\text{ 包含的基本事件数}}{\text{基本事件总数}}$；从 $6$ 人中任取 $2$ 人共 ${\mathrm{C}}_6^2=15$ 种。

3. 方法推广: 凡“用列举法写出所有结果”，一律按字典序成对写出，既不重也不漏。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-13 填-古典概型
• 2015-山东卷文-16 解-古典概型