2014-天津卷理-07 单-充分必要条件判定

本题导读

本题考查充分必要条件的判定，以及不等式的性质与绝对值。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(理)） 设 $a,b\in \mathbf{R}$，则 "$a>b$" 是 "$a|a|>b|b|$" 的()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析函数 $f(x)=x|x|$ 的单调性。由于该函数在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，可直接推导或用特值检验。
2. 检验充分性：若 $a>b$，由于 $f(x)=x|x|$ 单调递增，是否有 $a|a|>b|b|$？
3. 检验必要性：若 $a|a|>b|b|$，是否有 $a>b$？

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)=x|x|=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x\ge 0\\ -x^2,& x<0\end{array}$， 任取 $x_1<x_2$，易证 $f(x_1)<f(x_2)$ 恒成立，即 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的严格单调递增函数。 因此，由 $a>b$ 必然可推出 $a|a|>b|b|$（充分性成立）； 反之，若 $a|a|>b|b|$，由于 $f(x)$ 单调递增，也必然可推出 $a>b$（必要性成立）。 综上，“$a>b$”是“$a|a|>b|b|$”的充要条件。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数单调性与充要条件判定。

2. 核心方法：证 $f(x)=x|x|$ 在 $\mathbf{R}$ 上严格单调递增，双向等价。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 函数 $x|x|$ 的单调性。

2. 结论推广: $a>b⟺a|a|>b|b|$。

3. 方法推广: 充要条件判定可构造单调函数双向转化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

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