2014-安徽卷文-07 单-三角图象对称

本题导读

先合成 $\sqrt{2}\sin (2x+\frac{\pi }{4})$，右移 $\phi$ 后令其为偶函数解 $\phi$。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(文)） 若将函数 $f(x)=\sin 2x+\cos 2x$ 的图象向右平移 $\phi$ 个单位，所得图象关于 $y$ 轴对称，则 $\phi$ 的最小正值是()

A. $\frac{\pi }{8}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　C. $\frac{3\pi }{8}$　　　　　　　D. $\frac{3\pi }{4}$

🔍【思路分析】

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右移后 $$\begin{gathered} g(x)= \\ sqrt2\sin (2x-2\phi +\frac{\pi }{4}) \end{gathered}$$；关于 $y$ 轴对称须 $g(-x)=g(x)$，即相位为 $\frac{\pi }{2}+k\pi$。

✅【答案】

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（C）$\frac{3\pi }{8}$

✍【详细解析】

Abstract

$g(x)=\sin 2(x-\phi )+\cos 2(x-\phi )=\sqrt{2}\sin (2x-2\phi +\frac{\pi }{4})$。记 $\delta =\frac{\pi }{4}-2\phi$，则 $g(x)=\sqrt{2}\sin (2x+\delta )$。关于 $y$ 轴对称须为偶函数，故 $\cos \delta =0$，即 $\frac{\pi }{4}-2\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$），得 $\phi =-\frac{\pi }{8}-\frac{k\pi }{2}$。取 $k=-1$ 得最小正值 $\phi =\frac{3\pi }{8}$。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角恒等变换（辅助角公式）与图象变换

2. 核心方法：平移代入 + 偶函数条件解参数

3. 避坑指南：“向右平移 $\phi$“是 $x\to x-\phi$，符号别写反；偶函数条件是相位等于 $\frac{\pi }{2}+k\pi$，须枚举整数 $k$ 取最小的正 $\phi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: $\sin 2x+\cos 2x$ 的图象关于直线 $x=\frac{\pi }{8}$ 对称，右移 $\frac{3\pi }{8}$ 后该对称轴恰落在 $y$ 轴上。

2. 结论推广: 一般地，$y=A\sin (\omega x+\delta )$ 关于 $y$ 轴对称 $⟺\delta =\frac{\pi }{2}+k\pi$；关于原点对称 $⟺\delta =k\pi$。

3. 方法推广: 平移对称问题统一流程：合成单一函数 → 写新相位 → 代对称条件 → 枚举 $k$ 取最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-03 单-函数奇偶性
• 2014-大纲卷理-11 单-异面直线所成的角