2014-山东卷文-20 解-导数切线单调性

本题导读

(1) 切线 $y=\frac{1}{2}(x-1)$；(2) $a\ge 0$ 恒增；$a\le -\frac{1}{2}$ 恒减；$-\frac{1}{2}<a<0$ 时在 $(0,x_1)$、$(x_2,+\infty )$ 减、$(x_1,x_2)$ 增。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(文)） 设函数 $f(x)=a\ln x+\frac{x-1}{x+1}$，其中 $a$ 为常数.

(1) 若 $a=0$，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程；

(2) 讨论函数 $f(x)$ 的单调性.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 切线 $y=\frac{1}{2}(x-1)$；(2) $a\ge 0$ 恒增；$a\le -\frac{1}{2}$ 恒减；$-\frac{1}{2}<a<0$ 时在 $(0,x_1)$、$(x_2,+\infty )$ 减、$(x_1,x_2)$ 增。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $y=\frac{1}{2}(x-1)$ (2) 见解析（$a\ge 0$ 时在 $(0,+\infty )$ 递增；$a\le -\frac{1}{2}$ 时递减；$-\frac{1}{2}<a<0$ 时在 $(0,x_1)$、$(x_2,+\infty )$ 递减，$(x_1,x_2)$ 递增，其中 $x_{1,2}=\frac{-(a+1)\pm \sqrt{2a+1}}{a}$）

✍【详细解析】

Abstract

定义域 $x>0$，$f^{\prime }(x)=\frac{a}{x}+\frac{2}{(x+1{)}^2}=\frac{a(x+1{)}^2+2x}{x(x+1{)}^2}$。

(1) $a=0$ 时 $f(x)=\frac{x-1}{x+1}$，$f(1)=0$，$f^{\prime }(1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。

切线方程 $y=\frac{1}{2}(x-1)$。

(2) 分母 $x(x+1{)}^2>0$（$x>0$），$f^{\prime }$ 的符号由 $g(x)=a(x+1{)}^2+2x=a{x}^2+2(a+1)x+a$ 决定。

$a\ge 0$：$g(x)>0$（各项非负且 $2x>0$），$f$ 在 $(0,+\infty )$ 递增。

$a<0$：判别式 $\Delta =4(a+1{)}^2-4a^2=4(2a+1)$。

若 $a\le -\frac{1}{2}$：$\Delta \le 0$，$g(x)\le 0$ 恒成立（$a=-\frac{1}{2}$ 时 $g(x)=-\frac{1}{2}(x-1{)}^2\le 0$），$f$ 在 $(0,+\infty )$ 递减。

若 $-\frac{1}{2}<a<0$：$g$ 有两根 $x_1=\frac{-(a+1)+\sqrt{2a+1}}{a}$，$x_2=\frac{-(a+1)-\sqrt{2a+1}}{a}$。

由 $a<0$、$0<\sqrt{2a+1}<a+1$，得 $0<x_1<x_2$。$g$ 开口向下：在 $(0,x_1)$、$(x_2,+\infty )$ 上 $g<0$，$(x_1,x_2)$ 上 $g>0$。

所以 $f$ 在 $(0,x_1)$、$(x_2,+\infty )$ 递减，在 $(x_1,x_2)$ 递增。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义；含参对数函数的单调性讨论

2. 核心方法：“分母恒正 ⟹ 只看分子二次式”；按 $a$ 的符号与判别式分三类

3. 避坑指南：①$\frac{x-1}{x+1}$ 的导数是 $\frac{2}{(x+1{)}^2}$（商法则），不是 $\frac{2}{(x+1{)}^2}$ 的符号变化——直接背这个结果更稳；②$-\frac{1}{2}<a<0$ 时两根的分母 $a<0$，$x_1<x_2$ 的大小关系靠"$\sqrt{2a+1}<a+1$"保证，写讨论时要交代这一句。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 含参对数函数单调性讨论题，与 2014 年新课标Ⅰ理第 21 题、2014 年新课标Ⅰ文第 21 题同族。

2. 结论推广: 一般地，$f^{\prime }=\frac{g(x)}{x(x+1{)}^2}$ 型：分母在定义域内恒正，单调性完全由二次式 $g$ 的符号决定；$g$ 的判别式 $4(2a+1)$ 是分类的分界线。

3. 方法推广: 含参单调性标准流程：求导 → 通分 → 找”恒正分母” → 对分子按符号/判别式分类 → 每类写清区间。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-21 解-求曲线的切线
• 2014-新课标I卷文-21 解-导数存在性