2014-新课标I卷文-16 填-解三角形测高

本题导读

$\angle CAB=45^{\circ }$、$BC=100$ 得 $AC=100\sqrt{2}$；$△MAC$ 内角和得 $\angle AMC=45^{\circ }$，正弦定理求 $AM$，再乘 $\sin 60^{\circ }$ 得 $MN=150$。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(文)） 如图，为测量山高 $MN$，选择 $A$ 和另一座山的山顶 $C$ 为测量观测点. 从 $A$ 点测得 $M$ 点的仰角 $\angle MAN=60^{\circ }$，$C$ 点的仰角 $\angle CAB=45^{\circ }$ 以及 $\angle MAC=75^{\circ }$；从 $C$ 点测得 $\angle MCA=60^{\circ }$. 已知山高 $BC=100$ m，则山高 $MN=$ $\underline{}$ m.

🔍【思路分析】

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$\angle CAB=45^{\circ }$、$BC=100$ 得 $AC=100\sqrt{2}$；$△MAC$ 内角和得 $\angle AMC=45^{\circ }$，正弦定理求 $AM$，再乘 $\sin 60^{\circ }$ 得 $MN=150$。

✅【答案】

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150

✍【详细解析】

Abstract

$△ABC$ 中 $\angle ABC=90^{\circ }$，$\angle CAB=45^{\circ }$，故 $AC=\frac{BC}{\sin 45^{\circ }}=100\sqrt{2}$。

$△MAC$ 中，$\angle MAC=75^{\circ }$，$\angle MCA=60^{\circ }$，所以 $\angle AMC=45^{\circ }$。

由正弦定理：$\frac{AM}{\sin 60^{\circ }}=\frac{AC}{\sin 45^{\circ }}$，得 $AM=100\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{2}/2}=100\sqrt{3}$。

$\mathrm{Rt}△AMN$ 中，$MN=AM\cdot \sin 60^{\circ }=100\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=150$（m）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：解三角形的应用（测量高度）；正弦定理

2. 核心方法：“两直角三角形夹一斜三角形”逐层求解

3. 避坑指南：本题的角分属三个三角形：$45^{\circ }$ 在 $△ABC$ 内，$75^{\circ },60^{\circ }$ 在 $△MAC$ 内，$60^{\circ }$ 又在 $△AMN$ 内——读图先把每个角”归位”，否则正弦定理列错对象。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 测量山高的经典情境（doc 考点定位：解三角形应用），2014 年新课标Ⅰ理第 16 题同卷同族（同为测高）。

2. 结论推广: 一般地，测高问题：山高 = 斜线段 × 仰角正弦；中间斜线段由另一斜三角形的正弦定理传递。

3. 方法推广: 测量类应用题：画截面图 → 标角 → 找”已知两角一边”的可解三角形逐个击破。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-16 填-正弦定理