2014-新课标II卷理-03 单-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量数量积的运算。核心技巧是利用向量模的平方等于向量自身的数量积这一性质，通过对已知模长的等式进行平方处理，消去模长平方项从而解得数量积。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(理)） 设向量 $\vec{a},\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{10}$，$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{6}$，则 $\vec{a}\cdot \vec{b}=$ ()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $5$

🔍【思路分析】

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1. 转化模长等式：由于题目给出的是和与差的模长，求的是数量积，直接联想到向量恒等式 $|\vec{a}\pm \vec{b}{|}^2={\vec{a}}^2\pm 2\vec{a}\cdot \vec{b}+{\vec{b}}^2$。
2. 构建方程组：将两个已知模长的等式分别平方。
3. 消除干扰项：利用加减消元法，将含有 $|\vec{a}{|}^2$ 和 $|\vec{b}{|}^2$ 的部分消去，即可直接解出 $\vec{a}\cdot \vec{b}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：对已知条件进行平方运算 由 $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{10}$，两边平方得： $(\vec{a}+\vec{b}{)}^2=10$ 展开得：${\vec{a}}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+{\vec{b}}^2=10$ —— ①

由 $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{6}$，两边平方得： $(\vec{a}-\vec{b}{)}^2=6$ 展开得：${\vec{a}}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+{\vec{b}}^2=6$ —— ②

第二步：求数量积 用 ① 式减去 ② 式得： $({\vec{a}}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+{\vec{b}}^2)-({\vec{a}}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+{\vec{b}}^2)=10-6$ 化简得： $4\vec{a}\cdot \vec{b}=4$ 解得： $\vec{a}\cdot \vec{b}=1$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量模的平方与数量积的关系及 $|\vec{a}\pm \vec{b}{|}^2$ 的展开。

2. 核心方法：将两已知模长等式平方后作差，消去模长平方项解出数量积。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 向量恒等式 $|\vec{a}\pm \vec{b}{|}^2={\vec{a}}^2\pm 2\vec{a}\cdot \vec{b}+{\vec{b}}^2$。

2. 结论推广: $\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{|\vec{a}+\vec{b}{|}^2-|\vec{a}-\vec{b}{|}^2}{4}$。

3. 方法推广: 面对抽象向量运算，优先考虑代数平方；面对具体坐标向量，优先考虑坐标运算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

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• 2015-湖北卷文-11 填-向量数量积
• 2015-浙江卷文-13 填-向量数量积