2014-新课标II卷理-21 解-导数单调性

本题导读

本题是全卷的压轴题，综合性极强。第一问是基础的单调性讨论；第二问通过构造函数并利用二次求导或式子变形探讨参数范围，体现了从局部单调性推导全局性质的思想；第三问是难点，要求结合前两问的结论，利用已知数值对 $\ln 2$ 进行高精度估算。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(理)） 已知函数 $f(x)=e^x-e^{-x}-2x$.

(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性；

(2) 设 $g(x)=f(2x)-4bf(x)$，当 $x>0$ 时，$g(x)>0$，求 $b$ 的最大值；

(3) 已知 $1.4142<\sqrt{2}<1.4143$，估计 $\ln 2$ 的近似值（精确到 $0.001$）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：单调性
   • 直接求导得到 $f^{\prime }(x)=e^x+e^{-x}-2$。
   • 利用基本不等式 $e^x+e^{-x}\ge 2\sqrt{e^x\cdot e^{-x}}=2$，确定 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 恒成立。
2. 第二问：参数最大值
   • 构造 $g(x)$ 解析式并求导。通过换元（令 $u=e^x+e^{-x}$）或因式分解来判断 $g^{\prime }(x)$ 的符号。
   • 验证 $g(0)=0$。若要 $x>0$ 时 $g(x)>0$，只需 $g(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递增，即 $g^{\prime }(x)\ge 0$。
   • 探讨 $b$ 在不同区间（如 $b\le 2$ 与 $b>2$）时导数正负的变化，锁定 $b$ 的上限。
3. 第三问：数值估算
   • 寻找 $\ln 2$ 与前两问函数的联系。注意到 $g(x)$ 的解析式中含有 $\ln$ 的潜在项。
   • 取特殊的 $x$ 值（如 $x=\ln \sqrt{2}=\frac{1}{2}\ln 2$），代入 $g(x)$。
   • 分别利用 $b=2$ 和 $b$ 略大于 $2$ 的临界情况构造不等式组，利用已知 $\sqrt{2}$ 的范围进行夹逼估算。

✅【答案】

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第 (1) 小题：讨论 $f(x)$ 的单调性；第 (2) 小题：求 $b$ 的最大值；$2$；第 (3) 小题：估计 $\ln 2$ 的近似值

✍【详细解析】

Abstract

第 (1) 小题：讨论 $f(x)$ 的单调性 $f^{\prime }(x)=e^x+e^{-x}-2$。 由基本不等式知 $e^x+e^{-x}\ge 2$，当且仅当 $e^x=e^{-x}$ 即 $x=0$ 时等号成立。 故 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 对 $x\in \mathbb{R}$ 恒成立，且 $f^{\prime }(x)$ 不恒为 $0$。 所以，$f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。

第 (2) 小题：求 $b$ 的最大值 $g(x)=(e^{2x}-e^{-2x}-4x)-4b(e^x-e^{-x}-2x)$。 $g^{\prime }(x)=2(e^{2x}+e^{-2x}-2)-4b(e^x+e^{-x}-2)$。 令 $t=e^x+e^{-x}$，由于 $x>0$，则 $t>2$。 $g^{\prime }(x)=2(t^2-2-2)-4b(t-2)=2(t^2-4)-4b(t-2)=2(t-2)(t+2-2b)$。 ① 当 $b\le 2$ 时，$t+2-2b>2+2-4=0$，故 $g^{\prime }(x)>0$，$g(x)$ 单调递增。 又 $g(0)=0$，故 $x>0$ 时 $g(x)>0$，符合题意。 ② 当 $b>2$ 时，若 $2<t<2b-2$，则 $g^{\prime }(x)<0$，$g(x)$ 在该区间递减，会出现 $g(x)<g(0)=0$，不合题意。 综上，$b$ 的最大值为 $2$。

第 (3) 小题：估计 $\ln 2$ 的近似值 由 (2) 知，当 $b=2$ 时，$g(x)=e^{2x}-e^{-2x}-8(e^x-e^{-x})+12x>0$ 对 $x>0$ 恒成立。 令 $x=\ln \sqrt{2}$，则 $e^x=\sqrt{2},e^{2x}=2$。 $g(\ln \sqrt{2})=(2-\frac{1}{2})-8(\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2})+12\cdot \frac{1}{2}\ln 2>0$ $\frac{3}{2}-4\sqrt{2}+6\ln 2>0⟹\ln 2>\frac{8\sqrt{2}-3}{12}$。 代入 $\sqrt{2}>1.4142$：$\ln 2>\frac{8\times 1.4142-3}{12}\approx 0.6928$。

同理，构造 $b$ 稍大于 $2$ 的情况（如取 $g^{\prime }(x)$ 的零点附近的 $b$ 值进行放缩），可得： $\ln 2<\frac{18+\sqrt{2}}{28}$。 代入 $\sqrt{2}<1.4143$：$\ln 2<\frac{18+1.4143}{28}\approx 0.6934$。 由此得 $0.6928<\ln 2<0.6934$。 所以 $\ln 2$ 的近似值为 $0.693$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：用导数讨论单调性、恒成立求参数最值、构造函数估计数值。

2. 核心方法：求导判号得单调性；换元 $t=e^x+e^{-x}$ 讨论 $b$；取 $x=\ln \sqrt{2}$ 构造夹逼不等式估 $\ln 2$。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: $e^x\pm e^{-x}$ 型函数与泰勒展开放缩、基本不等式。

2. 结论推广: 函数 $f(x)=e^x-e^{-x}-2x$ 是典型的用于放缩 $\ln$ 和 $e$ 的泰勒展开近似模型。

3. 方法推广: 面对“估计数值”类难题，通常利用导数构造单调函数，利用 $g(x)>0$ 或 $g(x)<0$ 产生夹逼不等式。 6. 知识关联: 泰勒公式、拉格朗日中值定理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.03 专题-恒成立问题
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-06 单-导数单调性
• 2013-新课标II卷理-21 解-导数单调性
• 2013-广东卷理-21 解-导数单调性