2014-江西卷文-19 解-三棱柱

本题导读

(1) 设 $\mathbf{v}=\overrightarrow{A{A}_1}$、$\mathbf{b}=\overrightarrow{AB}$、$\mathbf{c}=\overrightarrow{AC}$，把两个垂直条件化为向量等式；(2) 建系求出 $r$、$s$，再解出 $t^2$ 关于 $h$ 的表达式。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(文)） 如图，三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$A{A}_1\perp BC$，$A_{1}B\perp B{B}_1$.

(1) 求证：$A_{1}C\perp C{C}_1$；

(2) 若 $AB=2$，$AC=\sqrt{3}$，$BC=\sqrt{7}$，问 $A{A}_1$ 为何值时，三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的体积最大，并求此最大值.

🔍【思路分析】

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(1) 用 $\overrightarrow{A_{1}C}=\mathbf{c}-\mathbf{v}$ 与 $\overrightarrow{C{C}_1}=\mathbf{v}$ 作数量积；(2) 先证 $\angle BAC=90^{\circ }$ 得底面积，再用 $t^2$ 表示两底面间的距离。

✅【答案】

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(1) 证明见解析；(2) $A{A}_1=\sqrt{\frac{6}{7}}$，体积最大值为 $\frac{3\sqrt{7}}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 记 $\mathbf{v}=\overrightarrow{A{A}_1}=\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{C{C}_1}$，$\mathbf{b}=\overrightarrow{AB}$，$\mathbf{c}=\overrightarrow{AC}$，则 $\overrightarrow{BC}=\mathbf{c}-\mathbf{b}$，$\overrightarrow{A_{1}B}=\mathbf{b}-\mathbf{v}$，$\overrightarrow{A_{1}C}=\mathbf{c}-\mathbf{v}$。 由 $A{A}_1\perp BC$ 得 $\mathbf{v}\cdot (\mathbf{c}-\mathbf{b})=0$；由 $A_{1}B\perp B{B}_1$ 得 $(\mathbf{b}-\mathbf{v})\cdot \mathbf{v}=0$。于是 $\mathbf{v}\cdot \mathbf{c}=\mathbf{v}\cdot \mathbf{b}={\mathbf{v}}^2$。 所以 $\overrightarrow{A_{1}C}\cdot \overrightarrow{C{C}_1}=(\mathbf{c}-\mathbf{v})\cdot \mathbf{v}=\mathbf{v}\cdot \mathbf{c}-{\mathbf{v}}^2=0$，即 $A_{1}C\perp C{C}_1$。 (2) 因为 $A{B}^2+A{C}^2=2^2+(\sqrt{3}{)}^2=7=B{C}^2$，所以 $\angle BAC=90^{\circ }$，底面 $△ABC$ 的面积 $S=\frac{1}{2}\times 2\times \sqrt{3}=\sqrt{3}$。 以 $A$ 为原点，$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$ 分别为 $x$ 轴、$y$ 轴方向建立空间直角坐标系，则 $A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(0,\sqrt{3},0)$。设 $\mathbf{v}=(r,s,t)$，记 $h=A{A}_1=|\mathbf{v}|$。 由 $\mathbf{v}\perp \overrightarrow{BC}=(-2,\sqrt{3},0)$ 得 $-2r+\sqrt{3}s=0$，即 $s=\frac{2r}{\sqrt{3}}$。 由 $(\mathbf{b}-\mathbf{v})\cdot \mathbf{v}=0$ 得 $(2-r,-s,-t)\cdot (r,s,t)=0$，即 $2r-h^2=0$，故 $r=\frac{h^2}{2}$，$s=\frac{h^2}{\sqrt{3}}$。 从而 $t^2=h^2-r^2-s^2=h^2-\frac{h^4}{4}-\frac{h^4}{3}=h^2\left(1-\frac{7h^2}{12}\right)$。 三棱柱两底面间的距离为 $|t|$，故体积 $V=S\cdot |t|=\sqrt{3}|t|$，从而 $V^2=3t^2=3h^2-\frac{7}{4}{h}^4$。 令 $u=h^2>0$，则 $V^2=3u-\frac{7}{4}{u}^2=\frac{9}{7}-\frac{7}{4}{\left(u-\frac{6}{7}\right)}^2⩽\frac{9}{7}$，等号当且仅当 $u=\frac{6}{7}$ 时成立。 所以当 $A{A}_1=h=\sqrt{\frac{6}{7}}$ 时三棱柱体积最大，最大值为 $V_{\max }=\sqrt{\frac{9}{7}}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间向量的垂直证明与体积最值

2. 核心方法：用向量消元、把体积化为单变量的函数

3. 避坑指南：(1) 由 $\mathbf{v}\cdot (\mathbf{c}-\mathbf{b})=0$ 与 $(\mathbf{b}-\mathbf{v})\cdot \mathbf{v}=0$ 推出 $\mathbf{v}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{v}\cdot \mathbf{c}={\mathbf{v}}^2$；(2) 体积 $V=\sqrt{3}|t|$，其中 $|t|$ 是三棱柱的高，需先由两个垂直条件解出 $t^2$ 关于 $h$ 的表达式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 空间向量在垂直证明与体积最值中的应用。

2. 结论推广: 取 $A$ 为原点建系后，$A{A}_1\perp BC$ 与 $A_{1}B\perp B{B}_1$ 分别给出两个向量方程。

3. 方法推广: 体积最值问题的通法：把目标量表示成单一变量的二次函数，配方法求最值并检验等号能否取到。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 21.02 空间向量与线面位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷理-20 解-空间垂直判定
• 2014-新课标I卷理-19 解-线面垂直