2014-江西卷理-04 单-余弦定理

本题导读

本题考查余弦定理与三角形面积公式的综合应用。核心在于通过已知等式与余弦定理的公式进行比对，求解出两边之积 $ab$ 的值，进而计算面积。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(理)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对应的边分别为 $a,b,c$.若 $c^2=(a-b{)}^2+6$，$C=\frac{\pi }{3}$，则 $△ABC$ 的面积为 ()

A. $3$　　　　　　B. $\frac{9\sqrt{3}}{2}$　　　　　　C. $\frac{3\sqrt{3}}{2}$　　　　　　D. $3\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开已知等式：将 $c^2=(a-b{)}^2+6$ 展开为含 $a^2+b^2-2ab$ 的形式。
2. 利用余弦定理：根据 $C=\frac{\pi }{3}$ 列出余弦定理公式 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。
3. 建立等量关系：通过两个 $c^2$ 的表达式相等，求出 $ab$ 的值。
4. 计算面积：代入面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 求解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：整理已知条件 由已知得 $c^2=(a-b{)}^2+6$，展开得： $c^2=a^2+b^2-2ab+6$ ①

第二步：应用余弦定理 由余弦定理可知： $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 将 $C=\frac{\pi }{3}$ 代入得： $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \frac{\pi }{3}=a^2+b^2-ab$ ②

第三步：联立求解 $ab$ 由 ① = ② 得： $a^2+b^2-2ab+6=a^2+b^2-ab$ 整理得：$-2ab+6=-ab⟹ab=6$。

第四步：计算 $△ABC$ 的面积 根据三角形面积公式： $S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\times 6\times \sin \frac{\pi }{3}$ $S_{△ABC}=3\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理的变形应用以及面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 的熟练掌握。

2. 核心方法：公式对比法。题目给出的 $c^2$ 结构通常是余弦定理的一个变体，通过对比可以快速消去平方项求得边长的乘积。

3. 避坑指南：计算时注意 $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ 与 $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 不要记混。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正弦定理、二倍角公式、三角形内角和定理。

2. 结论推广: 若 $c^2=a^2+b^2-kab$，则可通过 $\cos C=\frac{k}{2}$ 直接求角。

3. 方法推广: 面对涉及 $c^2$ 与 $(a\pm b{)}^2$ 关系的题目，展开后与余弦定理联立是标准套路。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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• 11.02 余弦定理

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