2014-浙江卷理-19 解-通项公式与性质

本题导读

本题综合考查等比数列的通项推导、复杂的数列求和以及数列最值的判定。第一问通过乘积形式的递推关系确定通项；第二问利用裂项相消和等比数列求和公式进行计算，并通过研究项的符号确定前 $n$ 项和的最大值。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 满足 $a_1{a}_2{a}_3\cdots a_n=(\sqrt{2}{)}^{b_n}$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$).若 $\{a_n\}$ 为等比数列，且 $a_1=2,b_3=6+b_2$.

(1) 求 $a_n$ 与 $b_n$；

(2) 设 $c_n=\frac{1}{a_n}-\frac{1}{b_n}$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$).记数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，

(i) 求 $S_n$；

(ii) 求正整数 $k$，使得对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 均有 $S_k\ge S_n$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问思路：
   • 利用 $a_1{a}_2\cdots a_{n-1}$ 与 $a_1{a}_2\cdots a_n$ 的比值求出 $a_n$ 与 $b_n,b_{n-1}$ 的关系。
   • 代入 $n=3$ 并利用 $b_3-b_2=6$ 求出 $a_3$，进而确定等比数列 $\{a_n\}$ 的公比 $q$ 和通项 $a_n$。
   • 将 $a_n$ 代回原乘积式，利用等比数列性质求出 $b_n$ 的表达式。
2. 第二问思路：
   • (i)：写出 $c_n$ 表达式。发现 $\frac{1}{a_n}$ 是等比数列，$\frac{1}{b_n}$ 可进行裂项变换 $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。分别求和后相加减。
   • (ii)：要使 $S_k$ 最大，需观察 $c_n$ 的符号。若存在 $m$ 使得 $n\le m$ 时 $c_n\ge 0$，而 $n>m$ 时 $c_n<0$，则 $S_m$ 为最大值。通过比较 $\frac{b_n}{a_n}$ 与 1 的关系来判定 $c_n$ 的正负。

✅【答案】

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$a_n=2^n$；$b_n=n(n+1)$；(i)；(ii)

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 由 $a_1{a}_2\cdots a_n=(\sqrt{2}{)}^{b_n}$ ①， 当 $n\ge 2$ 时，$a_1{a}_2\cdots a_{n-1}=(\sqrt{2}{)}^{b_{n-1}}$ ②。 ① $÷$ ② 得：$a_n=(\sqrt{2}{)}^{b_n-b_{n-1}}$。 令 $n=3$，则 $a_3=(\sqrt{2}{)}^{b_3-b_2}=(\sqrt{2}{)}^6=8$。 因为 $\{a_n\}$ 是等比数列且 $a_1=2$，所以 $q^2=\frac{a_3}{a_1}=4$。 由题意 $a_n>0$，故 $q=2$，得 $a_n=2^n$。 将 $a_n$ 代回原式：$2^1\times 2^2\times \cdots \times 2^n=2^{\frac{n(n+1)}{2}}=(\sqrt{2}{)}^{b_n}=2^{\frac{b_n}{2}}$。 对照指数得 $b_n=n(n+1)$。

(2) 解： (i)：$c_n=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{2^n}-\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$。 $S_n=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^n}\right)-\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\right]$。 应用等比数列求和公式与裂项相消： $S_n=\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2^n})}{1-\frac{1}{2}}-\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\left(1-\frac{1}{2^n}\right)-1+\frac{1}{n+1}=\frac{1}{\mathbf{n}+1}-\frac{1}{2^{\mathbf{n}}}$。

(ii)：研究 $c_n$ 的正负： $c_n\ge 0⟺\frac{1}{2^n}\ge \frac{1}{n(n+1)}⟺n(n+1)\ge 2^n$。

• 当 $n=1,c_1=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$；
• 当 $n=2,c_2=\frac{1}{4}-\frac{1}{6}>0$；
• 当 $n=3,c_3=\frac{1}{8}-\frac{1}{12}>0$；
• 当 $n=4,c_4=\frac{1}{16}-\frac{1}{20}>0$；
• 当 $n=5,c_5=\frac{1}{32}-\frac{1}{30}<0$。 由于当 $n\ge 5$ 时，指数函数 $2^n$ 的增长速度远快于二次函数 $n(n+1)$，可以证明此时恒有 $c_n<0$。 因此，数列 $S_n$ 在 $n=4$ 前（含 $n=4$）非减，从 $n=5$ 开始递减。 故当 $k=4$ 时，$S_k\ge S_n$ 对任意 $n$ 恒成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列通项、裂项相消求和与前 $n$ 项和的最值

2. 核心方法：裂项相消法求 $\frac{1}{n(n+1)}$ 型数列的和，再转化为通项符号临界点分析最值。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 数列与函数的结合、等差数列通项、数学归纳法。

2. 结论推广: 对于 $c_n=a_n-b_n$，若 $a_n$ 递减快于 $b_n$，则 $S_n$ 必有最大值。

3. 方法推广: 证明 $2^n>n(n+1)$ 对 $n\ge 5$ 成立，通常使用数学归纳法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型
• 19.02 等比数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-19 解-基本性质及通项公式
• 2013-辽宁卷理-07 单-二项式通项
• 2013-浙江卷理-11 填-二项式通项