2014-湖南卷理-04 单-二项式通项

本题导读

本题考查二项式定理的应用。核心在于熟练运用二项展开式的通项公式 $T_{r+1}$，通过指数匹配确定特定项，并准确计算组合数与常数幂的乘积。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(理)） ${\left(\frac{1}{2}x-2y\right)}^5$ 的展开式中 $x^2{y}^3$ 的系数是()

A. $-20$　　　　　　　B. $-5$　　　　　　　C. $5$　　　　　　　D. $20$

🔍【思路分析】

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1. 写出通项公式：根据二项式定理 $(a+b{)}^n$ 的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
2. 设定参数：在本题中，$n=5$，$a=\frac{1}{2}x$，$b=-2y$。
3. 匹配指数：我们需要 $x^2{y}^3$ 的系数，由 $(x{)}^{n-r}(y{)}^r$ 可知，令 $r=3$。
4. 计算系数：将 $r=3$ 代入通项公式，提取所有数值部分进行运算。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

二项式 ${\left(\frac{1}{2}x-2y\right)}^5$ 的展开通项公式为： $T_{r+1}=C_5^r{\left(\frac{1}{2}x\right)}^{5-r}(-2y{)}^r$ 整理得： $T_{r+1}=C_5^r\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{5-r}\cdot (-2{)}^r\cdot x^{5-r}\cdot y^r$ 根据题意，要求 $x^2{y}^3$ 的系数，则需满足： $5-r=2⟹r=3$ 将 $r=3$ 代入系数部分： $\text{系数}=C_5^3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{5-3}\cdot (-2{)}^3$ 计算数值：

• $C_5^3=C_5^2=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10$
• ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$
• $(-2{)}^3=-8$

$\text{系数}=10\cdot \frac{1}{4}\cdot (-8)=10\cdot (-2)=-20$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式定理的通项公式

2. 核心方法：写通项令 $5-r=2$ 得 $r=3$，计算 $C_5^3(\frac{1}{2}{)}^2(-2{)}^3$

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 二项式展开通项公式

2. 结论推广: 指定项系数通过指数匹配确定 $r$ 后计算。

3. 方法推广: 可迁移到求二项式指定项系数类题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-07 单-二项式通项
• 2013-浙江卷理-11 填-二项式通项
• 2013-安徽卷理-11 填-二项式通项