2014-辽宁卷文-14 填-线性规划

本题导读

先求三条边界两两的交点，再逐个代入 $z=3x+4y$。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(文)） 已知 $x$，$y$ 满足条件 $\{\begin{array}{l}2x+y-2⩾0,\\ x-2y+4⩾0,\\ 3x-y-3⩽0,\end{array}$ 则目标函数 $z=3x+4y$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

由 $2x+y-2⩾0$ 与 $3x-y-3⩽0$ 得交点 $(1,0)$；由 $2x+y-2⩾0$ 与 $x-2y+4⩾0$ 得 $\left(1,\frac{5}{2}\right)$（需结合 $x⩽2$）；由 $x-2y+4⩾0$ 与 $3x-y-3⩽0$ 得 $(2,3)$。

✅【答案】

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$18$

✍【详细解析】

Abstract

先确定可行域。三条边界直线两两求交点： $\{\begin{array}{l}2x+y-2=0,\\ 3x-y-3=0\end{array}$ 解得 $(1,0)$； $\{\begin{array}{l}x-2y+4=0,\\ 3x-y-3=0\end{array}$ 解得 $(2,3)$； 该可行域还在 $x=1$ 处由 $2x+y-2⩾0$ 与 $x-2y+4⩾0$ 围出一段竖直边界，端点之一为 $(1,0)$，另一端点满足 $\{\begin{array}{l}x=1,\\ x-2y+4=0\end{array}$，即 $\left(1,\frac{5}{2}\right)$。 所以可行域是以上三点为顶点的三角形。 代入 $z=3x+4y$： 在 $(1,0)$ 处 $z=3$；在 $\left(1,\frac{5}{2}\right)$ 处 $z=3+10=13$；在 $(2,3)$ 处 $z=6+12=18$。 因此 $z$ 的最大值为 $18$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：简单的线性规划

2. 核心方法：可行域顶点代入法

3. 避坑指南：可行域是由 $x\in [1,2]$ 上两两直线交点围成的三角形，顶点为 $(1,0)$、$\left(1,\frac{5}{2}\right)$、$(2,3)$；在 $(2,3)$ 处取到最大值 $18$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 二元一次不等式组与目标函数的最值。

2. 结论推广: 三条约束两两相交得三个顶点，目标函数 $z=3x+4y$ 的最值必在顶点处取得。

3. 方法推广: 线性规划三步：画可行域、求顶点、代目标函数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷理-13 填-可行域与目标函数
• 2014-广东卷理-03 单-线性规划