2014-辽宁卷文-19 解-三棱锥体积

本题导读

(1) 建系求出 $\overrightarrow{EF}$、$\overrightarrow{BC}$、$\overrightarrow{CG}$，验证 $\overrightarrow{EF}$ 与后两者都垂直；(2) 用 $\overrightarrow{BC}$、$\overrightarrow{BG}$、$\overrightarrow{BD}$ 的混合积求体积。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(文)） 如图，$△ABC$ 和 $△BCD$ 所在平面互相垂直，且 $AB=BC=BD=2$，$\angle ABC=\angle DBC=120^{\circ }$，$E$，$F$，$G$ 分别为 $AC$，$DC$，$AD$ 的中点.

(1) 求证：$EF\perp$ 平面 $BCG$；

(2) 求三棱锥 $D-BCG$ 的体积.

附：锥体的体积公式 $V=\frac{1}{3}Sh$，其中 $S$ 为底面面积，$h$ 为高.

🔍【思路分析】

破题导航

以 $B$ 为原点建系，由夹角 $120^{\circ }$ 写出各顶点的坐标，再用坐标运算判定垂直、算体积。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 证明见解析；(2) $V=\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为平面 $ABC\perp$ 平面 $BCD$，且两平面交于 $BC$，故可以 $B$ 为原点、$BC$ 所在直线为 $x$ 轴，在平面 $ABC$ 内取 $y$ 轴、在平面 $BCD$ 内取 $z$ 轴建立空间直角坐标系。 由 $AB=BC=BD=2$，$\angle ABC=\angle DBC=120^{\circ }$，可取 $B(0,0,0)$，$C(2,0,0)$，$A(-1,\sqrt{3},0)$，$D(-1,0,\sqrt{3})$。 （验证：$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=-2$，$|\overrightarrow{BA}|=|\overrightarrow{BC}|=2$，故 $\angle ABC=120^{\circ }$；$\overrightarrow{BD}$ 同理。） 由中点坐标公式， $E\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$，$F\left(\frac{1}{2},0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，$G\left(-1,\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。 所以 $\overrightarrow{EF}=\left(0,-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，$\overrightarrow{BC}=(2,0,0)$，$\overrightarrow{CG}=\left(-3,\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。 $\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{BC}=0+0+0=0$， $\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{CG}=0+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=0$。 所以 $EF\perp BC$，$EF\perp CG$。 又直线 $BC$ 与 $CG$ 相交于点 $C$，且都在平面 $BCG$ 内，因此 $EF\perp$ 平面 $BCG$。 (2) $\overrightarrow{BC}=(2,0,0)$，$\overrightarrow{BG}=\left(-1,\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，$\overrightarrow{BD}=(-1,0,\sqrt{3})$。 计算 $\overrightarrow{BG}\times \overrightarrow{BD}$： $\overrightarrow{BG}\times \overrightarrow{BD}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}-0,\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot (-1)-(-1)\cdot \sqrt{3},(-1)\cdot 0-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot (-1)\right)=\left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。 所以三棱锥 $D-BCG$ 的体积 $V=\frac{1}{6}\left|\overrightarrow{BC}\cdot (\overrightarrow{BG}\times \overrightarrow{BD})\right|=\frac{1}{6}\left|(2,0,0)\cdot \left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right|=\frac{1}{6}\times 3=\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间中的垂直证明与棱锥体积

2. 核心方法：建系用向量证垂直、混合积求体积

3. 避坑指南：建系时把 $BC$ 放在 $x$ 轴、两个互相垂直的平面分别取 $y$、$z$ 轴，才能把 $\angle ABC=\angle DBC=120^{\circ }$ 写成 $A(-1,\sqrt{3},0)$、$D(-1,0,\sqrt{3})$；坐标写错则两个垂直关系都验证不出来。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 空间中直线与平面垂直的证明与三棱锥体积。

2. 结论推广: 线面垂直的判定：一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则它与该平面垂直。

3. 方法推广: 三棱锥体积可用 $\overrightarrow{BC}$ 与 $\overrightarrow{BG}\times \overrightarrow{BD}$ 的数量积计算：$V=\frac{1}{6}\left|\overrightarrow{BC}\cdot (\overrightarrow{BG}\times \overrightarrow{BD})\right|$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 21.02 空间向量与线面位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-19 解-线线垂直
• 2014-江西卷理-20 解-空间垂直判定