2014-辽宁卷理-21 解-导数单调性

本题导读

本题是全卷的压轴题，综合考查导数工具在研究复杂函数零点问题中的应用。第一问通过求导判定单调性并结合端点值证明零点唯一性；第二问通过巧妙的换元和构造辅助函数，将两个零点之间的关系转化为同一个函数在不同区间上的单调性与值域判定，体现了极高的代数变形与逻辑推理要求。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(理)） 已知函数 $f(x)=(\cos x-x)(\pi +2x)-\frac{8}{3}(\sin x+1)$，$g(x)=3(x-\pi )\cos x-4(1+\sin x)\ln (3-\frac{2x}{\pi })$.

证明：(1)存在唯一 $x_0\in (0,\frac{\pi }{2})$，使 $f(x_0)=0$；

(2) 存在唯一 $x_1\in (\frac{\pi }{2},\pi )$，使 $g(x_1)=0$，且对(1)中的 $x_0+x_1<\pi$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：证明零点唯一性
   • 求导分析单调性：对 $f(x)$ 求导，观察导函数 $f^{\prime }(x)$ 在区间 $(0,\frac{\pi }{2})$ 上的正负。
   • 利用端点值：计算 $f(0)$ 和 $f(\frac{\pi }{2})$，确认异号。
   • 结论：单调且异号，由零点存在性定理得证。
2. 第二问：零点关系证明
   • 构造辅助函数：令 $h(x)=\frac{g(x)}{1+\sin x}$。由于 $x\in (\frac{\pi }{2},\pi )$ 时 $1+\sin x>0$，故 $g(x)$ 与 $h(x)$ 零点相同。
   • 利用换元法（对称化）：为了联系 $x_0$ 和 $x_1$，令 $t=\pi -x$，则 $x\in (\frac{\pi }{2},\pi )$ 对应 $t\in (0,\frac{\pi }{2})$。构造关于 $t$ 的函数 $u(t)=h(\pi -t)$。
   • 寻找导数关联：通过求导发现 $u^{\prime }(t)$ 的表达式中含有 $f(t)$，利用第一问的结论分析 $u(t)$ 的增减性。
   • 证明不等式：通过 $u(t)$ 的最大值点及端点值确定 $t_1$ 的范围，从而证明 $x_0+x_1<\pi$。

✅【答案】

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所以 $x_1\in (\frac{\pi }{2},\pi -x_0)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 当 $x\in (0,\frac{\pi }{2})$ 时， $f^{\prime }(x)=(-\sin x-1)(\pi +2x)+2(\cos x-x)-\frac{8}{3}\cos x$ $=-(1+\sin x)(\pi +2x)-2x-\frac{2}{3}\cos x$。 因为 $x\in (0,\frac{\pi }{2})$，所以 $\sin x\in (0,1),\cos x\in (0,1)$。 明显有 $f^{\prime }(x)<0$，故 $f(x)$ 在 $(0,\frac{\pi }{2})$ 上单调递减。 又 $f(0)=1\cdot \pi -\frac{8}{3}=\pi -\frac{8}{3}>0$， $f(\frac{\pi }{2})=(0-\frac{\pi }{2})(2\pi )-\frac{8}{3}(2)=-{\pi }^2-\frac{16}{3}<0$。 根据零点存在性定理，存在唯一 $x_0\in (0,\frac{\pi }{2})$，使 $f(x_0)=0$。

(2) 证明： 考虑函数 $h(x)=\frac{3(x-\pi )\cos x}{1+\sin x}-4\ln (3-\frac{2x}{\pi })$，其零点与 $g(x)$ 相同。 令 $t=\pi -x$，则 $x\in [\frac{\pi }{2},\pi ]$ 时，$t\in [0,\frac{\pi }{2}]$。 记 $u(t)=h(\pi -t)=\frac{3(-t)\cos (\pi -t)}{1+\sin (\pi -t)}-4\ln (3-\frac{2(\pi -t)}{\pi })=\frac{3t\cos t}{1+\sin t}-4\ln (1+\frac{2t}{\pi })$。 对 $u(t)$ 求导： $u^{\prime }(t)=\frac{3(\cos t-t\sin t)(1+\sin t)-3t{\cos }^{2}t}{(1+\sin t{)}^2}-\frac{4}{\pi +2t}\cdot 2$ $=\frac{3[(\cos t+\cos t\sin t-t\sin t-t{\sin }^{2}t)-t{\cos }^{2}t]}{(1+\sin t{)}^2}-\frac{8}{\pi +2t}$ $=\frac{3(\cos t-t)}{(1+\sin t)}-\frac{8}{\pi +2t}=\frac{3(\cos t-t)(\pi +2t)-8(1+\sin t)}{(1+\sin t)(\pi +2t)}=\frac{3f(t)}{(\pi +2t)(1+\sin t)}$。

由(1)知，当 $t\in (0,x_0)$ 时，$f(t)>0$，则 $u^{\prime }(t)>0$，$u(t)$ 单调递增； 当 $t\in (x_0,\frac{\pi }{2})$ 时，$f(t)<0$，则 $u^{\prime }(t)<0$，$u(t)$ 单调递减。 又 $u(0)=0$，且 $u(t)$ 在 $(0,x_0]$ 上单调递增，故 $u(x_0)>0$。 而在 $t\in [x_0,\frac{\pi }{2}]$ 时，$u(\frac{\pi }{2})=0-4\ln 2<0$。 由于 $u(x_0)>0$ 且 $u(\frac{\pi }{2})<0$，根据零点存在性定理，在 $(x_0,\frac{\pi }{2})$ 上存在唯一的 $t_1$，使 $u(t_1)=0$。 因为 $x_1=\pi -t_1$，且 $t_1\in (x_0,\frac{\pi }{2})$， 所以 $x_1\in (\frac{\pi }{2},\pi -x_0)$。 由此可得 $x_1<\pi -x_0$，即 $x_0+x_1<\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数在函数零点证明中的决定性作用，复杂辅助函数的构造技巧。

2. 核心方法：换元法实现“跨区间”联系。将区间 $(\frac{\pi }{2},\pi )$ 的问题通过 $t=\pi -x$ 映射回 $(0,\frac{\pi }{2})$，使得第一问的结论可以直接作为第二问导数正负判断的依据。

3. 避坑指南：直接求 $g(x)$ 的导数会非常复杂。通过除去一个恒正的因子 $1+\sin x$ 来构造 $h(x)$，可以极大地简化求导运算，这是解决压轴题的高阶意识。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 凹凸性、泰勒展开（部分竞赛背景题目可用泰勒公式快速估值）。

2. 结论推广: 面对两个零点 $x_1,x_2$ 的和与某个常数 $M$ 的关系，通常使用 $t=M-x$ 这种对称性代换。

3. 方法推广: 构造辅助函数 $h(x)=f(x)-f(M-x)$ 研究极值偏移问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-06 单-导数单调性
• 2013-新课标II卷理-21 解-导数单调性
• 2013-广东卷理-21 解-导数单调性