2014-陕西卷文-06 单-几何概型

本题导读

共 ${\mathrm{C}}_5^2=10$ 种取法，按点对的类型清点距离不小于边长的情形。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(文)） 从正方形四个顶点及其中心这 $5$ 个点中，任取 $2$ 个点，则这 $2$ 个点的距离不小于该正方形边长的概率为()

A. $\frac{1}{5}$　　　　　　　B. $\frac{2}{5}$　　　　　　　C. $\frac{3}{5}$　　　　　　　D. $\frac{4}{5}$

🔍【思路分析】

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两类：顶点与顶点（$6$ 对），顶点与中心（$4$ 对），逐类核对距离。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设正方形边长为 $1$。从 $5$ 个点中任取 $2$ 个点共有 ${\mathrm{C}}_5^2=10$ 种等可能取法。 顶点与顶点：相邻 $4$ 对距离为 $1$，相对 $2$ 对距离为 $\sqrt{2}$，均不小于 $1$； 顶点与中心：$4$ 对距离均为 $\frac{\sqrt{2}}{2}<1$，不合题意。 故符合条件的取法有 $4+2=6$ 种，所求概率 $P=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型与组合计数

2. 核心方法：按「距离是否不小于边长」分类列举

3. 避坑指南：正方形 $5$ 个点中，中心与顶点的 $4$ 对距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$（小于边长），其余 $6$ 对都不小于边长；「不小于」包含「等于」，相邻顶点对（距离恰为边长）也要计入。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 古典概型的概率计算与组合计数。

2. 结论推广: $P(A)=\frac{m}{n}$，$n$ 为基本事件总数 ${\mathrm{C}}_5^2=10$。

3. 方法推广: 几何计数问题先固定「点对类型」（顶点—顶点、顶点—中心）逐类清点，再核对题中「不小于」是否取等。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

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• 2014-新课标I卷文-13 填-古典概型