2014-陕西卷文-12 填-指对互化

本题导读

先把 $4^a=2$ 化为同底，求出 $a$；再由 $\lg x=a$ 还原 $x$。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(文)） 已知 $4^a=2$，$\lg x=a$，则 $x=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$4^a=2\Rightarrow 2^{2a}=2\Rightarrow a=\frac{1}{2}$；$x=10^a=10^{\frac{1}{2}}$。

✅【答案】

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$\sqrt{10}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $4^a=2$ 得 $2^{2a}=2^1$，所以 $a=\frac{1}{2}$。 由 $\lg x=a=\frac{1}{2}$ 得 $x=10^{\frac{1}{2}}=\sqrt{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数与对数的互化

2. 核心方法：两次互化：$4^a=2$ 求 $a$，$\lg x=a$ 求 $x$

3. 避坑指南：$4^a=2$ 要化成同底 $2^{2a}=2^1$，得 $a=\frac{1}{2}$；若把 $4^a=2$ 误解为 $a=2$，后面全错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 指数式与对数式的互化。

2. 结论推广: $a^b=N⟺b={\log }_{a}N$；$\lg x=a⟺x=10^a$。

3. 方法推广: 指数与对数互化时先把底数统一，再逐次还原。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2014-陕西卷理-11 填-指数幂运算
• 2014-安徽卷文-11 填-指对运算