2014-陕西卷理-12 填-圆的标准方程

本题导读

本题考查圆的标准方程的求法。解题关键在于利用点关于直线 $y=x$ 对称的坐标变换规律确定圆心坐标，并结合已知半径写出方程。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(理)） 若圆 $C$ 的半径为 $1$，其圆心与点 $(1,0)$ 关于直线 $y=x$ 对称，则圆 $C$ 的标准方程为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定圆心坐标：利用对称性。点 $(a,b)$ 关于直线 $y=x$ 的对称点坐标为 $(b,a)$。据此求出圆心 $C$ 的坐标。
2. 提取半径信息：题干直接给出半径 $r=1$。
3. 写出标准方程：代入圆的标准方程公式 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$，其中 $(a,b)$ 为圆心坐标，$r$ 为半径。

✅【答案】

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$x^2+(y-1{)}^2=1$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求圆心坐标 已知点 $A(1,0)$，圆心 $C$ 与点 $A$ 关于直线 $y=x$ 对称。 根据平面解析几何规律，点 $(x,y)$ 关于 $y=x$ 对称后的点为 $(y,x)$。 因此，圆心 $C$ 的坐标为 $(0,1)$。

第二步：求圆的标准方程 已知圆心坐标为 $(0,1)$，半径 $r=1$。 代入圆的标准方程公式： $(x-0{)}^2+(y-1{)}^2=1^2$ 化简得： $x^2+(y-1{)}^2=1$

【答案】 $x^2+(y-1{)}^2=1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的标准方程及其几何性质。

2. 核心方法：坐标变换规律。关于 $y=x$ 对称即横纵坐标互换；关于 $y=-x$ 对称即横纵坐标互换且均取相反数；关于原点对称即横纵坐标均取相反数。

3. 避坑指南：写方程时不要忘记半径要平方（虽然本题中 $1^2=1$），另外注意圆心坐标的正负号不要代错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆的一般方程 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$。

2. 结论推广: 若圆心 $(a,b)$ 关于直线 $y=x+k$ 对称，则需利用中点在直线上且斜率乘积为 $-1$ 来求解。

3. 方法推广: 涉及对称、旋转等几何变换确定圆的位置是高考解析几何的常见切入点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷文-14 填-圆的标准方程
• 2026-新高考II卷-09 多-圆的方程
• 2013-江苏卷-17 解-圆的方程