2015-上海卷文-05 填-增广矩阵

本题导读

考查增广矩阵与线性方程组的对应关系，是上海卷的特色考点。关键在读准矩阵每一列的含义。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(文)） 若线性方程组的增广矩阵为 $\left(\begin{array}{ccc}2& 3& c_1\\ 0& 1& c_2\end{array}\right)$，解为 $\{\begin{array}{l}x=3,\\ y=5,\end{array}$ 则 $c_1-c_2=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 增广矩阵前三列对应 $x,y$ 的系数与常数项，逐行还原成两个方程。
2. 把 $x=3,y=5$ 代入，分别定出 $c_1$ 与 $c_2$。

✅【答案】

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$16$

✍【详细解析】

Abstract

增广矩阵对应的方程组为

$\{\begin{array}{l}2x+3y=c_1,\\ 0\cdot x+1\cdot y=c_2.\end{array}$

即 $\{\begin{array}{l}2x+3y=c_1,\\ y=c_2.\end{array}$

代入 $x=3,y=5$：

$c_1=2\times 3+3\times 5=21,c_2=5.$

故 $c_1-c_2=21-5=16$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：增广矩阵的读法；方程组的解的含义。

2. 核心方法：“矩阵 ⟷ 方程组”双向翻译：系数按列对齐，最后一列是常数项。

3. 避坑指南：增广矩阵与系数矩阵容易混。第一行第三列是 $c_1$（常数项），不是 $x$ 的系数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：上海卷自 2011 年起将”线性方程组与矩阵”列入考查范围，属本卷特色题。

2. 结论推广: 对含参增广矩阵，可先由”解唯一”判断系数行列式非零，再定参数。

3. 方法推广: “翻译矩阵—代入验证”，是所有矩阵与方程组互化题的统一入口。

🔗【关联脉络】

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• 2015-上海卷理-3