2015-上海卷文-20 解-函数综合

本题导读

含参函数的性质讨论。第（1）问用奇偶性定义反推参数，第（2）问用导数定号 —— 关键是”先声明定义域”，且对参数 $a$ 分类。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(文)） 已知函数 $f(x)=a{x}^2+\frac{1}{x}$，其中 $a$ 为常数.

(1) 根据 $a$ 的不同取值，判断函数 $f(x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2) 若 $a\in (1,3)$，判断函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上的单调性，并说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 奇偶性先看定义域是否关于原点对称（本题 $\{x\mid x\ne 0\}$，对称）。
2. 写 $f(-x)$ 并与 $f(x)$、$-f(x)$ 比对，反解出参数条件 —— 注意”不是偶函数”也要说清理由。
3. 第（2）问求导，用 $a>1$、$x⩾1$ 给出 $f^{\prime }(x)>0$。

✅【答案】

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(1) 当 $a=0$ 时，$f(x)=\frac{1}{x}$ 为奇函数；当 $a\ne 0$ 时，$f(x)$ 既不是奇函数也不是偶函数

(2) $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上单调递增

✍【详细解析】

Abstract

（1） 函数的定义域为 $\{x\in \mathbf{R}\mid x\ne 0\}$，关于原点对称。对任意 $x\ne 0$，

$f(-x)=a{x}^2-\frac{1}{x}.$

若 $f$ 为偶函数，则应有 $f(-x)=f(x)$，即

$a{x}^2-\frac{1}{x}=a{x}^2+\frac{1}{x}⟹\frac{2}{x}=0,$

这对 $x\ne 0$ 不可能成立，所以 $f$ 不是偶函数。

若 $f$ 为奇函数，则应有 $f(-x)=-f(x)$，即

$a{x}^2-\frac{1}{x}=-a{x}^2-\frac{1}{x}⟹2a{x}^2=0,$

该式对任意 $x\ne 0$ 成立的充要条件是 $a=0$。

因此：当 $a=0$ 时，$f(x)=\frac{1}{x}$ 为奇函数；当 $a\ne 0$ 时，$f(x)$ 既不是奇函数，也不是偶函数。

（2） 当 $x\in [1,2]$ 且 $a\in (1,3)$ 时 $f$ 可导，且

$f^{\prime }(x)=2ax-\frac{1}{x^2}.$

因 $a>1$ 且 $x⩾1$，故

$f^{\prime }(x)⩾2ax-1>2\times 1\times 1-1=1>0.$

所以 $f^{\prime }(x)>0$ 在 $[1,2]$ 上恒成立，$f(x)$ 在 $[1,2]$ 上单调递增。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数奇偶性的定义与判定；利用导数判断单调性；含参函数的分类讨论。

2. 核心方法：判奇偶用定义（并反解参数），证单调用导数定号（并用参数范围放缩）。

3. 避坑指南：（1）不能只验证 $f(-x)\ne f(x)$ 就收工 —— 必须把”不是偶函数""不是奇函数”两种可能都论证到；（2）$f^{\prime }(x)=2ax-\frac{1}{x^2}$ 中 $\frac{1}{x^2}$ 的减号别丢，放缩时要用 $a>1$、$x⩾1$ 双向夹出正号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：“含参 + 奇偶性 + 单调性”是上海卷解答题的经典组合，考查分类讨论与论证的严密性。

2. 结论推广: 若把 $f(x)$ 改为 $a{x}^2+\frac{b}{x}$，则 $a=0$ 时为奇函数、$b=0$ 时为偶函数，$a=b=0$ 时既是奇函数又是偶函数。

3. 方法推广: “定义域 → 定义式 → 反解参数”是含参奇偶性问题的固定路线；“求导 → 定号 → 放缩”是单调性证明的标准三步。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2016-上海卷文-18