2015-上海卷理-03 填-增广矩阵

本题导读

本题考查线性方程组与其增广矩阵之间的对应关系。要求学生能够将矩阵形式还原为二元一次方程组，并利用已知解求出矩阵中的待定参数。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(理)） 若线性方程组的增广矩阵为 $\left(\begin{array}{ccc}2& 3& c_1\\ 0& 1& c_2\end{array}\right)$、解为 $\{\begin{array}{l}x=3\\ y=5\end{array}$，则 $c_1-c_2=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 还原方程组：根据增广矩阵的定义，第一列对应 $x$ 的系数，第二列对应 $y$ 的系数，第三列对应常数项。
2. 建立等式：写出对应的二元一次方程组。
3. 求待定系数：将已知解 $x=3,y=5$ 代入方程组，分别求出 $c_1$ 和 $c_2$ 的值。
4. 计算结果：计算 $c_1-c_2$。

✅【答案】

点击查看答案

16

✍【详细解析】

Abstract

由增广矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}2& 3& c_1\\ 0& 1& c_2\end{array}\right)$ 可得对应的线性方程组为： $\{\begin{array}{l}2x+3y=c_1\\ 0x+y=c_2\end{array}$ 将方程组的解 $\{\begin{array}{l}x=3\\ y=5\end{array}$ 代入：

1. 由第一个方程得：$c_1=2\times 3+3\times 5=6+15=21$。
2. 由第二个方程得：$c_2=1\times 5=5$。 所以： $c_1-c_2=21-5=16$

答案：16

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：增广矩阵与线性方程组的互化。
• 核心方法：还原法。矩阵是方程组的简写，解题时将其还原为熟悉的代数形式即可。
• 避坑指南：注意矩阵元素与未知数系数的对应顺序，不要将 $x$ 和 $y$ 的系数弄反。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 阶梯形矩阵对应的方程组更易求解，这种从下往上回代的方法是高斯消元法的核心。

• 相关知识点：矩阵的初等行变换、克莱姆法则。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

$16$

类题演练(Links)

• 2022-高考上海卷-3
• 2013年上海卷理-3
• 2012年上海卷理-3