2015-上海卷理-07 填-对数运算

本题导读

本题考查对数方程与指数方程的综合求解。核心在于利用对数运算性质将方程转化为整式方程，并通过换元法简化指数结构，最后需注意真数大于零的约束条件。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(理)） 方程 ${\log }_2(9^{x-1}-5)={\log }_2(3^{x-1}-2)+2$ 的解为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一对数底数：将常数 $2$ 写成以 $2$ 为底的对数形式，即 $2={\log }_{2}4$。
2. 利用对数性质合并：利用 ${\log }_{a}M+{\log }_{a}N={\log }_a(MN)$ 将右侧合并。
3. 转化为指数方程：去掉对数符号，得到 $9^{x-1}-5=4(3^{x-1}-2)$。
4. 换元简化：注意到 $9^{x-1}=(3^{x-1}{)}^2$，令 $3^{x-1}=t$，将方程转化为关于 $t$ 的一元二次方程。
5. 求解与检验：解出 $t$ 后，根据对数真数必须大于零的条件进行筛选，最后反求出 $x$。

✅【答案】

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2

✍【详细解析】

Abstract

第一步：对方程进行变形 原方程为：${\log }_2(9^{x-1}-5)={\log }_2(3^{x-1}-2)+{\log }_{2}4$。 根据对数加法性质，右边合并为： ${\log }_2(9^{x-1}-5)={\log }_2[4(3^{x-1}-2)]$。

第二步：脱去对数符号 得：$9^{x-1}-5=4(3^{x-1}-2)$。 注意隐含限制条件（真数大于零）： $9^{x-1}-5>0$ 且 $3^{x-1}-2>0$。

第三步：换元求解 令 $3^{x-1}=t$（易知 $t>0$），则 $9^{x-1}=(3^2{)}^{x-1}=t^2$。 方程化为：$t^2-5=4(t-2)$。 整理得：$t^2-4t+3=0$。 因式分解：$(t-1)(t-3)=0$。 解得：$t=1$ 或 $t=3$。

第四步：检验与反求 $x$

1. 当 $t=1$ 时，$3^{x-1}=1$。 此时真数 $3^{x-1}-2=1-2=-1<0$，不满足对数意义，舍去。
2. 当 $t=3$ 时，$3^{x-1}=3$。 此时真数 $3^{x-1}-2=3-2=1>0$，$9^{x-1}-5=3^2-5=4>0$，符合题意。 由 $3^{x-1}=3^1$ 得： $x-1=1⟹x=2$。

答案：2

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：对数运算性质；指数换元思想；对数方程的定义域（真数条件）。
• 核心方法：换元法。通过 $t=a^x$ 将超越方程降次为代数方程。
• 避坑指南：解对数方程必须验根。很多同学会算出两个 $t$ 值后直接求出两个 $x$，忽略了原方程中真数必须大于 $0$ 的基本限制。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 求解 ${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x)+b$ 型方程，通常先化为 ${\log }_{a}f(x)={\log }_a[g(x)\cdot a^b]$，再解 $f(x)=g(x)\cdot a^b$ 并保证真数部分为正。

• 相关知识点：对数函数图像、二次方程根的分布。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则

类题演练(Links)

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