2015-上海卷理-08 填-组合数

本题导读

本题考查组合数的应用。核心在于处理“男、女教师都有”这一限制条件，可以通过总数减去不合题意的情况（全为女教师），也可以通过对男教师人数进行分类讨论来求解。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(理)） 在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 $\underline{}$（结果用数值表示）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析总数：从总共 $3+6=9$ 名教师中任选 5 人，不考虑性别限制的情况总数为 $C_9^5$。
2. 分析限制条件：“男、女教师都有”意味着不能全是男教师，也不能全是女教师。
   • 全是男教师：由于总共只有 3 名男教师，选不出 5 人，故此种情况不存在。
   • 全是女教师：从 6 名女教师中选 5 人，情况数为 $C_6^5$。
3. 计算方法：
   • 间接法：总数 - 全是女教师的情况。
   • 直接法：按男教师人数分类（1名男、2名男、3名男），分别计算后求和。

✅【答案】

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120

✍【详细解析】

Abstract

解法一：排除法（推荐）

从 9 名教师中任选 5 人的总选法有： $C_9^5=\frac{9\times 8\times 7\times 6}{4\times 3\times 2\times 1}=126$ 由于男教师仅有 3 名，选出的 5 人中至少包含 $5-3=2$ 名女教师，故不存在“全是男教师”的情况。 不符合题意（即男、女教师不同时有）的唯一情况是“全是女教师”： $C_6^5=6$ 所以，符合条件的选法种数为： $126-6=120$

解法二：分类讨论法

按选取男教师的人数进行分类：

1. 1男4女：$C_3^1\cdot C_6^4=3\times 15=45$
2. 2男3女：$C_3^2\cdot C_6^3=3\times 20=60$
3. 3男2女：$C_3^3\cdot C_6^2=1\times 15=15$ 总种数为：$45+60+15=120$。

答案：120

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：组合数公式 $C_n^m$ 的计算；“至少”或“都有”问题的处理策略。
• 核心方法：排除法。当正面分类较多时，使用“总体减去对立面”通常更高效。
• 避坑指南：计算 $C_9^5$ 时可利用 $C_n^m=C_n^{n-m}$ 简化为 $C_9^4$；注意题干要求“结果用数值表示”，不能只写组合数。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若 $n$ 个元素中选 $m$ 个，包含两类元素，要求每类至少有一个。若其中一类仅有 $k$ 个且 $k<m$，则排除法只需减去另一类全选的情况。

• 相关知识点：排列数与组合数的区别（是否与顺序有关）、分步乘法计数原理。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

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