2015-上海卷理-09 填-双曲线性质

本题导读

本题考查双曲线渐近线方程的求法。核心在于通过点 $P$ 与点 $Q$ 的坐标转换关系，利用 $P$ 点的轨迹性质推导出 $Q$ 点（即曲线 $C_2$）的轨迹特征，进而确定渐近线。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(理)） 已知点 $P$ 和 $Q$ 的横坐标相同，$P$ 的纵坐标是 $Q$ 的纵坐标的 2 倍，$P$ 和 $Q$ 的轨迹分别为双曲线 $C_1$ 和 $C_2$.若 $C_1$ 的渐近线方程为 $y=\pm \sqrt{3}x$，则 $C_2$ 的渐近线方程为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 坐标关系建模：设 $Q(x,y)$，根据题目条件，$P$ 点的坐标可表示为 $(x,2y)$。
2. 利用 $C_1$ 的特征：已知 $C_1$ 的渐近线为 $y=\pm \sqrt{3}x$，根据渐近线与双曲线方程的关系，可设 $C_1$ 的方程为 $3x^2-y^2=\lambda$ ($\lambda \ne 0$)。
3. 轨迹转化：将 $P(x,2y)$ 代入 $C_1$ 的方程，即可得到关于 $x,y$ 的等式，这就是 $Q$ 点的轨迹 $C_2$ 的方程。
4. 提取渐近线：从 $C_2$ 的标准形式或展开式中，令常数项为 0，求解 $y$ 关于 $x$ 的表达式即得渐近线。

✅【答案】

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$y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}x$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：设定点 $P$ 与 $Q$ 的坐标关系 设 $Q$ 点的坐标为 $(x,y)$。 由题意，点 $P$ 的横坐标与 $Q$ 相同，纵坐标是 $Q$ 的 2 倍， 则 $P$ 点的坐标为 $(x,2y)$。

第二步：设出双曲线 $C_1$ 的方程 已知双曲线 $C_1$ 的渐近线方程为 $y=\pm \sqrt{3}x$，即 $\sqrt{3}x\pm y=0$。 利用共渐近线方程系，可设双曲线 $C_1$ 的方程为： $3x^2-y^2=\lambda (\lambda \ne 0)$

第三步：求出双曲线 $C_2$ 的方程 因为点 $P(x,2y)$ 在双曲线 $C_1$ 上，将其坐标代入 $C_1$ 的方程： $3x^2-(2y{)}^2=\lambda$ 整理得： $3x^2-4y^2=\lambda$ 这就是点 $Q$ 的轨迹 $C_2$ 的方程。

第四步：确定 $C_2$ 的渐近线 令 $3x^2-4y^2=0$，得： $4y^2=3x^2⟹y^2=\frac{3}{4}{x}^2$ 开平方得： $y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}x$

答案：$y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}x$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线为 $y=\pm \frac{b}{a}x$；相关点法求轨迹。
• 核心方法：相关点法。当一个动点随着另一个已知轨迹的动点运动时，建立坐标转换关系并回代是最稳妥的解法。
• 避坑指南：
  1. 不要混淆 $P,Q$ 的对应关系，谁是已知轨迹，谁是要求轨迹。
  2. 计算 $(2y{)}^2$ 时注意系数是 $4$ 而不是 $2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若双曲线 $C_1$ 经过纵坐标压缩（或拉伸）变为 $C_2$，渐近线的斜率也会随之同比例变化。

• 相关知识点：双曲线的离心率、等轴双曲线。

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