2015-上海卷理-10 填-反函数

本题导读

本题考查反函数的性质以及复合函数单调性的应用。核心逻辑在于利用原函数的单调性确定反函数的定义域和单调性，进而判定目标加法函数的单调性来求最大值。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(理)） 设 $f^{-1}(x)$ 为 $f(x)=2^{x-2}+\frac{x}{2},x\in [0,2]$ 的反函数，则 $y=f(x)+f^{-1}(x)$ 的最大值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析原函数 $f(x)$ 的性质：
   • 指数部分 $2^{x-2}$ 为增函数，线性部分 $\frac{x}{2}$ 也为增函数，故 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上是单调递增的。
   • 计算端点值：$f(0)=2^{-2}+0=\frac{1}{4}$，$f(2)=2^0+1=2$。
   • 结论：原函数的值域为 $[\frac{1}{4},2]$。
2. 确定反函数 $f^{-1}(x)$ 的性质：
   • 根据反函数性质：反函数的定义域是原函数的值域，即 $f^{-1}(x)$ 的定义域为 $[\frac{1}{4},2]$。
   • 反函数的单调性与原函数一致，故 $f^{-1}(x)$ 在其定义域上也是单调递增的。
   3. 分析目标函数 $y=f(x)+f^{-1}(x)$：
   • 目标函数由两个增函数相加构成，根据增函数的性质，和函数在公共定义域上也是单调递增的。
   • 确定公共定义域：$f(x)$ 定义域为 $[0,2]$，$f^{-1}(x)$ 定义域为 $[\frac{1}{4},2]$，交集为 $[\frac{1}{4},2]$。
3. 求解最大值：在区间 $[\frac{1}{4},2]$ 上，最大值必在右端点 $x=2$ 处取得。

✅【答案】

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4

✍【详细解析】

Abstract

第一步：判定 $f(x)$ 的单调性与值域 因为 $y=2^{x-2}$ 和 $y=\frac{x}{2}$ 在 $[0,2]$ 上均单调递增， 所以 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上单调递增。 当 $x=0$ 时，$f(0)=2^{-2}+0=\frac{1}{4}$； 当 $x=2$ 时，$f(2)=2^{2-2}+\frac{2}{2}=1+1=2$。 即 $f(x)$ 的值域为 $[\frac{1}{4},2]$。

第二步：确定 $f^{-1}(x)$ 的特征 由反函数性质可知，$f^{-1}(x)$ 的定义域为 $[\frac{1}{4},2]$，且在其定义域上单调递增。 同时，$f^{-1}(2)=2$（因为 $f(2)=2$）。

第三步：求目标函数的最大值 设 $g(x)=f(x)+f^{-1}(x)$，其定义域为 $[0,2]\cap [\frac{1}{4},2]=[\frac{1}{4},2]$。 由于 $f(x)$ 和 $f^{-1}(x)$ 均在 $[\frac{1}{4},2]$ 上单调递增， 所以 $g(x)$ 在 $[\frac{1}{4},2]$ 上单调递增。 当 $x=2$ 时，$g(x)$ 取得最大值： $y_{max}=f(2)+f^{-1}(2)=2+2=4$

答案：4

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：原函数与反函数单调性相同；反函数的定义域是原函数的值域；增函数 + 增函数 = 增函数。
• 核心方法：单调性法。本题无需通过繁琐的代数手段解出反函数的具体解析式（实际上也很难解出），利用性质判定即可。
• 避坑指南：必须先确定公共定义域。虽然本题在 $x=2$ 处取得最大值，但如果要求的区间不包含 2，则结果会完全不同。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若 $f(x)$ 为增函数，则 $y=f(x)+f^{-1}(x)$ 在公共定义域上恒为增函数。

• 相关知识点：反函数的导数关系、函数图像关于 $y=x$ 对称。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则

类题演练(Links)

• 2023-上海卷-10 填-二项式定理
• 2022-高考上海卷-10
• 2013年上海卷理-10